آپ کو (ای ^ ایکس) / (1 + ای ^ (2x)) کے اینٹیائڈائٹی کیسے ملتی ہے؟

جواب:

#arctan (e ^ x) + C #

وضاحت:

# "لکھ" ای ^ ایکس "ڈی ایکس کے طور پر" ڈی (ای ^ x) "، پھر ہم حاصل کریں" #

#int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2) #

# "متبادل Y =" ای ^ ایکس "کے ساتھ، ہم" #

#int (d (y)) / (1 + y ^ 2) #

# "جو برابر ہے" #

#arctan (y) + C #

# "اب واپس متبادل" y = e ^ x: #

#arctan (e ^ x) + C #

جواب:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = arctane ^ x + "c" #

وضاحت:

ہم تلاش کرنا چاہتے ہیں # inte ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = int1 / (1 + (e ^ x) ^ 2) e ^ x "d" x #

اب دو # u = e ^ x # اور دونوں طرفوں پر فرق لے کر دیتا ہے # du = e ^ xdx #. اب ہم ان دونوں مساویوں کو حاصل کرنے کے لئے لازمی طور پر تبدیل کرتے ہیں

# int1 / (1 + u ^ 2) "d" u #

یہ ایک معیاری لازمی ہے جس کا اندازہ ہوتا ہے # آرکٹان #. کے لئے واپس متبادل #ایکس# ہمیں حتمی جواب ملتا ہے:

#arctan e ^ x + "c" #

جواب:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = tan ^ -1 (e ^ x) + C #

وضاحت:

سب سے پہلے، ہم چلو # u = 1 + e ^ (2x) #. احترام کے ساتھ ضم کرنے کے لئے # آپ #، ہم ڈسپوزٹ کی طرف سے تقسیم # آپ #، کونسا # 2e ^ (2x) #:

#int ^ e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = 1 / 2int e ^ x / (e ^ (2x) * u) du = 1 / 2int e ^ x / (e ^ x * e ^ x * u) du = #

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du #

احترام کے ساتھ ضم کرنے کے لئے # آپ #ہمیں ہر چیز کی ضرورت ہے # آپ #، لہذا ہمیں کیا کرنے کے لئے حل کرنے کی ضرورت ہے # e ^ x # کے لحاظ سے ہے # آپ #:

# u = 1 + e ^ (2x) #

# ای ^ (2x) = u-1 #

# 2x = ln (u-1) #

# x = 1 / 2ln (u-1) #

# x = ln ((u-1) ^ (1/2)) = ln (sqrt (u-1)) #

# e ^ x = e ^ (ln (sqrt (u-1))) = sqrt (u-1) #

اب ہم یہ واپس انضمام میں پلگ کر سکتے ہیں:

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du #

اگلا ہم اس کے ساتھ ایک متبادل پیش کرے گا # ز = sqrt (u-1) #. ڈسیووینٹ یہ ہے:

# (ڈیز) / (دو) = 1 / (2 سیکرٹری (u-1) #

لہذا ہم اس کے ساتھ احترام کرنے کے لئے تقسیم کرتے ہیں # ز # (یاد رکھو کہ تقسیم کرنے والے کے ذریعے ضائع ہونے والی اسی طرح تقسیم ہے):

# 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) * 2sqrt (u-1) dz = #

# = 2 / 2int 1 / u dz #

اب، ہم ایک بار پھر ہمارے پاس غلط متغیر ہے، لہذا ہمیں اس کے لئے حل کرنے کی ضرورت ہے # آپ # کے لحاظ سے برابر ہے # ز #:

# ز = sqrt (u-1) #

# u-1 = z ^ 2 #

# u = z ^ 2 + 1 #

یہ دیتا ہے:

#int 1 / u dz = int 1 / (1 + z ^ 2) dz #

یہ عام مشتہر ہے # ٹین ^ -1 (ز) #، تو ہم حاصل کرتے ہیں:

#int 1 / (1 + z ^ 2) dz = tan ^ -1 (z) + C #

تمام متبادلات کو واپس کرنے، ہم حاصل کرتے ہیں:

# tan ^ -1 (z) + C = tan ^ -1 (sqrt (u-1)) + C = #

# = ٹین ^ -1 (sqrt (1 + ای ^ (2x) -1)) + C = tan ^ -1 ((ای ^ (2x)) ^ (1/2)) + C = #

# = ٹین ^ -1 (ای ^ ایکس) + C #