دائیں مثلث کا سب سے بڑا حصہ ایک ^ 2 + بی ^ 2 ہے اور دوسری طرف 2ab ہے. کس حالت میں تیسرا حصہ سب سے چھوٹا سا حصہ ہوگا؟

جواب:

تیسری طرف سے سب سے کم ہونے کے لئے، ہمیں ضرورت ہے # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb # (اور یہ کہ # a # اور # ب # ایک ہی نشان ہے).

وضاحت:

صحیح مثلث کا سب سے طویل حصہ ہمیشہ ہایپوٹینج ہے. لہذا ہم جانتے ہیں کہ ہایپوٹینیوز کی لمبائی ہے # a ^ 2 + b ^ 2. #

نامعلوم پہلو کی لمبائی دو # سی # پھر پیتھگورین پریمیم سے، ہم جانتے ہیں

# (2اب) ^ 2 + سی ^ 2 = (ایک ^ 2 + بی ^ 2) ^ 2 #

یا

# c = sqrt ((a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2- (2ab) ^ 2) #

# رنگ (سفید) سی = چوٹسٹ (ایک ^ 4 + 2 اے ^ 2 ب ^ 2 + بی ^ 4-4 اے ^ 2 ب ^ 2) #

# رنگ (سفید) سی = چوٹسٹ (ایک ^ 4-2 اے ^ 2 بی ^ 2 + بی ^ 4) #

# رنگ (سفید) سی = چوٹرو ((ایک ^ 2-ب ^ 2) ^ 2) #

# رنگ (سفید) سی = ایک ^ 2-ب ^ 2 #

ہمیں یہ بھی ضرورت ہے کہ ہر طرف کی لمبائی مثبت ہو، تو

• # a ^ 2 + b ^ 2> 0 #

  # => ایک! = 0 یا بی! = 0 #

• # 2ab> 0 #

  # => ایک، بی> 0 یا ایک، بی <# #

• # c = a ^ 2-b ^ 2> 0 #

  # <=> ایک ^ 2> بی ^ 2 #

  # <=> absa> absb #

اب، کے لئے کسی بھی مثلث، سب سے طویل طرف ضروری ہے سے کم ہو رقم دوسرے دو طرفوں کے. تو ہم نے ہیں:

# رنگ (سفید) (=>) 2اب + "" سی رنگ (سفید) (XX)> ایک ^ 2 + بی ^ 2 #

# => 2ab + (a ^ 2-b ^ 2)> a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2ab رنگ (سفید) (XXXXXX)> 2b ^ 2 #

# => {(a> b "،" اگر b> 0) "، (a <b"، "if b <0):} #

اس کے علاوہ، تیسری طرف کے لئے سب سے چھوٹی، # a ^ 2-b ^ 2 <2ab #

یا # a ^ 2-2ab + b ^ 2 <2b ^ 2 # یا # A-B <sqrt2b # یا #a <b (1 + sqrt2) #

ان تمام پابندیوں کو یکجا کرنا، ہم اس کو کم از کم تیسری طرف کم سے کم ہونے کے لئے کم کر سکتے ہیں، ہمیں لازمی طور پر ہونا چاہئے # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb اور (a، b <0 or a، b> 0). #