آپ کی حد (ایل این ایکس) ^ (1 / x) ایکس ایکس انفیکشن کے طور پر کیسے ملتا ہے؟

جواب:

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = 1 #

وضاحت:

متغیر اخراجات سے نمٹنے کے بعد ہم ایک عام چال کے ساتھ شروع کرتے ہیں. ہم کسی چیز کا قدرتی لاگ ان لے سکتے ہیں اور پھر ان کی قیمت کو تبدیل کرنے کے بجائے اس کی قیمت کو تبدیل کرنے کے لۓ اس کو بڑھانے کے لۓ بڑھا سکتے ہیں جیسا کہ یہ انواسطہ آپریشن ہیں - لیکن یہ ہمیں ہمیں فائدہ مند طریقے سے لاگز کے قوانین کو استعمال کرنے کی اجازت دیتا ہے.

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) exp (ln ((ln (x)) ^ (1 / x))) #

لاگ ان کے اخراجات کا استعمال کرتے ہوئے:

# = lim_ (xrarroo) Exp (1 / xln (ln (x))) #

یاد رکھیں کہ یہ ایک ایسا حصہ ہے جو مختلف ہوتی ہے # xrarroo # لہذا ہم اس پر توجہ مرکوز کر سکتے ہیں اور باہر کی ممکنہ تقریب کو منتقل کر سکتے ہیں:

# = سابق (lim_ (xrarroo) (ln (ln (x)) / x)) #

اگر آپ کو قدرتی لاگ کام کے رویے کو نظر آتے ہیں تو آپ کو یہ پتہ چل جائے گا کہ ایکس انفینٹی سے تعلق رکھتا ہے، فنکشن کی قیمت بھی انفینٹی تک پہنچ جاتی ہے، بہت آہستہ آہستہ ہوتا ہے. جب ہم لیتے ہیں #ln (ln (x)) # ہمارے پاس لاگ ان تقریب کے اندر ایک متغیر ہے جو انفینٹی کو بہت آہستہ آہستہ سے منسلک کرتا ہے، اس کا مطلب ہے کہ ہمارے پاس مجموعی فنکشن ہے جو انفینٹی سے آہستہ آہستہ ہوتی ہے. ذیل میں گراف صرف رینج تک ہوتا ہے # x = 1000 # لیکن یہ انتہائی سست ترقی کا مظاہرہ کرتا ہے #ln (ln (x)) # سست ترقی کے مقابلے میں بھی #ln (x) #.

اس رویے سے، ہم اس کی مدد کرسکتے ہیں #ایکس# بہت تیزی سے asymptotic اضافہ کی نمائش کریں گے اور اس وجہ سے ضمنی کی حد صفر ہو گی. # رنگ (نیلے رنگ) ("اس کا مطلب ہے کہ مجموعی حد = 1.") #

ہم اس موقع سے بھی لے سکتے ہیں. ہمیں غیر لازمی شکل میں ہونے کی حد کی ضرورت ہوتی ہے، یعنی # 0 / یا oo / oo # تو ہم چیک کریں کہ یہ معاملہ ہے:

#lim_ (xrarroo) ln (ln (x)) = ln (ln (oo)) = ln (oo) = oo #

#lim_ (xrarroo) x = oo #

یہ واقعی واقع ہے لہذا حد بن جاتی ہے:

# = نم (lim_ (xrarroo) ((d / (dx) (ln (ln (x))) / / (d / (dx) x))) #

مختلف کرنے کے لئے #y = ln (ln (x)) # ہم جانتے ہیں #y (u (x)) # اور چین کے اصول کا استعمال کریں

# (dy) / (dx) = (dy) / (du) (du) / (dx) #

#u = ln (x) کا مطلب ہے (دو) / (dx) = 1 / x #

#y = ln (u) کا مطلب ہے (dy) / (du) = 1 / u = 1 / (ln (x)) #

# اس وجہ سے (dy) / (dx) = 1 / (ln (x)) * 1 / x = 1 / (xln (x)) #

ذیابیطس #ایکس# ہے #1#. حد بن جاتا ہے:

# = اخراج (lim_ (xrarroo) ((1 / (xln (x))) / 1)) = exp (lim_ (xrarroo) (1 / (xln (x)))) #

ہم نے خطاب کیا ہے کہ ڈومینٹر پر دونوں افعال انفینٹی ہے جو ہمارے پاس ہے

#exp (1 / oo) = exp (0) = 1 #