تین انوجوں کے مربع کی رقم 324 ہے. آپ کو انٹیگرز کیسے ملتے ہیں؟

جواب:

واضح مثبت اشارے کے ساتھ واحد حل ہے #(2, 8, 16)#

حل کا مکمل سیٹ یہ ہے:

#{ (0, 0, +-18), (+-2, +-8, +-16), (+-8, +-8, +-14), (+-6, +-12, +-12) }#

وضاحت:

چوکوں کو کس طرح فارم لینے کے بارے میں غور کر کے ہم خود کو کچھ کوشش کر سکتے ہیں.

اگر # n # اس کے بعد ایک عجیب عدد ہے #n = 2k + 1 # کچھ انعقاد کے لئے # k # اور:

# n ^ 2 = (2k + 1) ^ 2 = 4 (k ^ 2 + k) + 1 #

یاد رکھیں کہ یہ فارم کا ایک عجیب عدد ہے # 4p + 1 #.

لہذا اگر آپ دو الگ الگ انباقوں کے چوکوں کو شامل کرتے ہیں، تو آپ ہمیشہ فارم کے ایک عدد حاصل کریں گے # 4k + 2 # کچھ انعقاد کے لئے # k #.

یاد رکھیں کہ #324 = 4*81# فارم کا ہے # 4k #نہیں # 4k + 2 #.

اس وجہ سے ہم کم کر سکتے ہیں کہ تین انباق بھی سبھی ہونا لازمی ہیں.

بعد میں انباقوں میں ایک مکمل تعداد میں حل ہیں # n ^ 2> = 0 # کسی بھی عدد کے لئے # n #.

غیر منفی اشاروں میں حل پر غور کریں. ہم اختتام پر منفی اشارے شامل ہونے والے متغیرات کو شامل کرسکتے ہیں.

فرض کریں کہ سب سے بڑا عددیہ ہے # n #، پھر:

# 324/3 = 108 <= ن ^ 2 <= 324 = 18 ^ 2 #

تو:

# 12 <= ن <= 18 #

اس کے نتیجے میں دوسرے دو اشارے کے چوکوں کی ممکنہ مقدار میں:

#324 - 18^2 = 0#

#324 - 16^2 = 68#

#324 - 14^2 = 128#

#324 - 12^2 = 180#

ان میں سے ہر ایک کے لئے # k #لگتا ہے کہ سب سے بڑا باقی انکجر ہے # م #. پھر:

# ک / 2 <= ایم ^ 2 <= k #

اور ہمیں ضرورت ہے # k-m ^ 2 # ایک بہترین مربع ہونا

لہذا ہم حل تلاش کرتے ہیں:

#(0, 0, 18)#

#(2, 8, 16)#

#(8, 8, 14)#

#(6, 12, 12)#

لہذا مختلف مثبت اشارے کے ساتھ واحد حل ہے #(2, 8, 16)#

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 2 ^ 2 3 ^ 4 = w ^ 2 #

یہ ظاہر کرنا آسان ہے # x، y # اور # ز # بنانے کی وجہ سے بھی ہونا چاہئے # x = 2m_x + 1، y = 2m_y + 1 # اور # z = 2m_z # ہمارے پاس ہے

# 4m_x ^ 2 + 4m_x + 4m_y ^ 2 + 4m_y + 4m_z ^ 2 + 2 = 4xx 3 ^ 4 # یا

# 2m_x ^ 2 + 2m_x + 2m_y ^ 2 + 2m_y + 2m_z ^ 2 + 1 = 2 xx 3 ^ 4 # جو غریب ہے.

لہذا اب ہم اس پر غور کریں گے

# m_x ^ 2 + m_y ^ 2 + m_z ^ 2 = 3 ^ 4 #

اب شناخت پر غور

# ((L ^ 2 + M ^ 2-n ^ 2) / n) ^ 2 + (2l) ^ 2 + (2 میٹر) ^ 2 = ((L ^ 2 + M ^ 2 + n ^ 2) / n) ^ 2 #

کے ساتھ # l، m، n # صوابدیدی مثبت عدد اور بنانے

# {(m_x = (l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n)، (m_y = 2l)، (m_z = 2m)، (m_w = (l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n):} # ------ 1

ہمارے پاس ہے

# l ^ 2 + ایم ^ 2 + ن ^ 2 = 3 ^ 2 ن # یا حل کرنے کے لئے # n #

#n = 1/2 (9 پی پی ایس ایس آر آر (9 ^ 2-4 (ایل ^ 2 + ایم ^ 2))) #

لہذا ممکنہ طور پر ہمیں ضرورت ہے

# 9 ^ 2-4 (ایل ^ 2 + ایم ^ 2) = p ^ 2 # یا

# 9 ^ 2-p ^ 2 = 4 (ایل ^ 2 + ایم ^ 2) = q #

اب تک # p = {1،2،3،4،5،6،7،8} # ہمارے پاس ہو گا

#q = {80،77،72،65،56،45،32،17} # تو ممکن ہے # q # ہیں

#q_f = {80،72،56،32} # کیونکہ #q equiv 0 موڈ 4 #

لہذا ہمیں تلاش کرنا ہوگا

# 4 (l_i ^ 2 + m_i ^ 2) = q_i # یا

# l_i ^ 2 + m_i ^ 2 = 1/4 q_i = بار q_i = {20،18،14،8} #

یہاں ہم آسانی سے توثیق کرسکتے ہیں، صرف ایک حل ہے

# l_1 = 2، m_1 = 4 # کیونکہ

# l_1 ^ 2 + m_1 ^ 2 = بار q_1 #

اور نتیجے میں # n_1 = {4،5} #

اور ہمیں 1 میں تبدیل کرنے میں متبادل

# n_1 = 4 آر ارر {(m_x = 1)، (m_y = 4)، (m_z = 8):} #

# n_1 = 5 ریرر {(m_x = -1)، (m_y = 4)، (m_z = 8):} #

حل دینا

# {(x = 2m_x = 2)، (y = 2m_y = 8)، (z = 2m_z = 16):} #