یہ معلوم ہوتا ہے کہ مساوات BX ^ 2- (a-3b) x + b = 0 میں ایک حقیقی جڑ ہے. ثابت کریں کہ مساوات x ^ 2 + (A-B) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 میں کوئی حقیقی جڑ نہیں ہے.

جواب:

ذیل میں دیکھیں.

وضاحت:

جڑیں # bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # ہیں

#x = (ایک - 3 ب pmsqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2) / (2 b) #

جڑیں اتفاق اور حقیقی ہوں گی

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0 #

یا

# a = b # یا #a = 5b #

اب حل کرنا

# x ^ 2 + (A-B) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # ہمارے پاس ہے

#x = 1/2 (-a + b pm pmrtrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4) #

پیچیدہ جڑوں کی حالت ہے

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 lt # #

اب بنا #a = b # یا #a = 5b # ہمارے پاس ہے

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 #

اختتام، اگر # bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # اس کے بعد اتفاق کی جڑیں ہیں # x ^ 2 + (A-B) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # پیچیدہ جڑیں پڑے گی.

ہمیں دیا گیا ہے کہ مساوات:

# bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 #

ایک حقیقی جڑ ہے، لہذا اس مساوات کے امتیاز صفر ہے:

# ڈیلٹا = 0 #

# => (- (a-3b)) ^ 2 - 4 (b) (b) = 0 #

#:. (A-3b) ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 9b ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. ایک ^ 2-6اب + 5b ^ 2 = 0 #

#:. (A-5b) (A-B) = 0 #

#:. a = b #، یا # a = 5b #

ہم مساوات کو ظاہر کرنا چاہتے ہیں:

# x ^ 2 + (A-B) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 #

کوئی حقیقی جڑ نہیں ہے. اس سے منفی تبعیض کی ضرورت ہوگی. اس مساوات کے لئے متضاد ہے:

# ڈیلٹا = (A-B) ^ 2 - 4 (1) (ab-b ^ 2 + 1) #

# = ایک ^ 2-2اب + ب ^ 2 -4اب + 4b ^ 2-4 #

# = ایک ^ 2-6اب + 5b ^ 2-4 #

اور اب ہم دو ممنوعہ مقدمات پر غور کریں جو پہلی مساوات کو پورا کرتے ہیں.

کیس 1: # a = b #

# ڈیلٹا = ایک ^ 2-6اب + 5b ^ 2-4 #

# = ((بی) ^ 2-6 (ب) بی + 5b ^ 2-4 #

# = b ^ 2-6b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# lt 0 #

کیس 2: # a = 5b #

# ڈیلٹا = ایک ^ 2-6اب + 5b ^ 2-4 #

# = (5b) ^ 2-6 (5 ب) ب + 5b ^ 2-4 #

# = 25b ^ 2-30 ب ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# lt 0 #

لہذا پہلے مساوات کی شرائط اس طرح ہیں کہ دوسرا مساوات ہمیشہ منفی تبعیض ہے، اور اس وجہ سے پیچیدہ جڑیں (یعنی کوئی حقیقی جڑیں)، QED