جواب:
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) # کے لئے #b میں آر آر #
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8))) # کے لئے #b = | b | e ^ (itheta) سی سی #
وضاحت:
الجزائر کے بنیادی پریمیم کی طرف سے، ہم اس بیان کو عامل بنا سکتے ہیں
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 1) ^ 8 (a-alpha_k) #
ہر ایک کہاں # alpha_k # ایک جڑ ہے # x ^ 8 + b ^ 8 #.
کے لئے حل # alpha_k #، ہم حاصل
# x ^ 8 + b ^ 8 = 0 #
# => x ^ 8 = -b ^ 8 #
# => ایکس = (-ب ^ 8) ^ (1/8) #
# = | b | (-1) ^ (1/8) # (فرض کرنا #b میں آر آر #)
# = | ب | (ای ^ (i (pi + 2pik))) ^ (1/8) #
# = | ب | ای ^ (آئی پی ((2k + 1) / 8)، ز ز ز #
جیسا کہ #k {0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7} # اس فارم کے تمام منفرد اقدار کے اکاؤنٹس، ہم اپنے عنصر کے طور پر حاصل کرتے ہیں #b میں آر آر #
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) #
زیادہ عام کے لئے #b میں سی سی #، پھر سپپوسنگ #b = | b | e ^ (itheta) #، ہم تلاش کرنے کے لئے اسی طرح کے حسابات کے ذریعے جا سکتے ہیں
# (- ب ^ 8) ^ (1/8) = | ب | ای ^ (آئی پی / ٹیٹا + (2 ک + 1) / 8)) #
مطلب
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8))) #
افسوس، میں کچھ معمولی تفصیلات کو نظر انداز کروں گا، جواب کے ذریعہ فراہم کردہ جواب درست ہے.
سپاپو #b نی 0 # اور # ایک، بی آر آر # ہمارے پاس ہے
# (a / b) ^ 8 = -1 = e ^ (ipi + 2kpi) # پھر
# a / b = e ^ (i (2k + 1) pi / 8) # پھر
# A-B e ^ (i (2k + 1) pi / 8) = 0 # کیا ہیں # k = 0،1، cdots، 7 # جڑیں یا عوامل
وضاحت کریں
#p (k) = ایک ہو ^ (i (2k + 1) pi / 8) #
اور پھر
# f_1 = p (1) p (6) = a ^ 2 - (sqrt 2-sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_2 = p (2) p (5) = a ^ 2 + (sqrt 2-sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_3 = p (3) p (4) = a ^ 2 + (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_4 = p (0) p (7) = a ^ 2 - (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #
تو
# a ^ 8 + b ^ 8 = f_1 f_2 f_3 f_4 # اصلی گائیوں کے ساتھ.
