ایس ایس کے ایک مربع علاقے کا حصہ بنیں. کسی بھی چوکیدار پر غور کریں جس میں ہر طرف کی ایک سطر ہے. اگر ایک، بی، سی اور ڈی کو چوڑائی کی لمبائی کی طرف اشارہ کرتے ہیں تو ثابت کریں کہ 2 <= ایک ^ 2 + بی ^ 2 + سی ^ 2 + ڈی ^ 2 <= 4؟

چلو #اے، بی، سی، ڈی# یونٹ کا ایک مربع ہونا.

تو # AB = BC = CD = DA = 1 # یونٹ

چلو # PQRS # ایک چوکراہٹ ہو جس میں مربع کے ہر طرف ایک عمودی ہے. یہاں چلو # PQ = B، QR = C، RS = dandSP = a #

پائیگراگور تیمم کو لاگو کرنا ہم لکھ سکتے ہیں

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 #

# = x ^ 2 + y ^ 2 + (1-x) ^ 2 + (1-ڈبلیو) ^ 2 + w ^ 2 + (1-ز) ^ 2 + ز ^ 2 + (1-y) ^ 2 #

# = 4 + 2 (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 (1 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 ((x-1/2) ^ 2 + (y-1/2) ^ 2 + (ز -1 / 2) ^ 2 + (w-1/2) ^ 2) #

اب ہمارا مسئلہ ہے

# 0 <= ایکس <= 1 => 0 <= (ایکس -1 / 2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= y <= 1 => 0 <= (y-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= ز <= 1 => 0 <= (ز -1 / 2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= W <= 1 => 0 <= (W-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

لہذا

# 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4 #