کیا 10 کے درمیان نمبروں کی تعداد کا تعین کرنے کا ایک منظم طریقہ ہے، اور، 50، ان کی یونٹس کو ہندسوں کی طرف سے تقسیم کیا جاتا ہے؟

جواب:

کے درمیان نمبروں کی تعداد #10# اور # 10k # ان کی اکائیوں کی تعداد میں تقسیم ہونے کی حیثیت سے نمائندگی کی جاسکتی ہے

#sum_ (n = 1) ^ 9 fl ((k * gcd (n، 10)) / n) #

کہاں #fl (x) # فرش کی تقریب، نقشہ جات کی نمائندگی کرتا ہے #ایکس# کم سے کم یا برابر کے برابر سب سے بڑا انوجٹر #ایکس#.

وضاحت:

یہ پوچھنا ہے کہ کس طرح بہت سے عدد ہیں # a # اور # ب # کہاں موجود ہے # 1 <= b <5 # اور # 1 <= ایک <= 9 # اور # a # تقسیم کرتا ہے # 10b + a #

یاد رکھیں کہ # a # تقسیم کرتا ہے # 10b + a # صرف اور صرف اس صورت میں # a # تقسیم کرتا ہے # 10b #. اس طرح، یہ کتنی ایسی تلاش کرنے میں کافی ہے # ب #ہر ایک کے لئے موجود ہے # a #. اس کے علاوہ، یاد رکھیں کہ # a # تقسیم کرتا ہے # 10b # اگر اور صرف ہر اہم عنصر کا # a # یہ بھی ایک اہم عنصر ہے # 10b # مناسب ضرب کے ساتھ.

جو باقی رہتا ہے، اس کے بعد ہر ایک کے پاس جانا ہے # a #.

#a = 1 #جیسا کہ تمام عددیوں کی طرف سے تقسیم ہوتی ہے #1#، کے لئے چار اقدار # ب # کام.

# a = 2 #جیسا کہ #10# کی طرف سے تقسیم ہے #2#، کے لئے چار اقدار # ب # کام.

# a = 3 #جیسا کہ #10# کی طرف سے تقسیم نہیں ہے #3#ہمیں ہونا ضروری ہے # ب # کی طرف سے تقسیم کیا جا رہا ہے #3#، یہ ہے کہ، # ب = 3 #.

# a = 4 #جیسا کہ #10# کی طرف سے تقسیم ہے #2#ہمیں ہونا ضروری ہے # ب # کے طور پر تقسیم کی طرف سے #2# مناسب ضربت حاصل کرنے کے لئے. اس طرح، # ب = 2 # یا # ب = 4 #.

# a = 5 #جیسا کہ #10# کی طرف سے تقسیم ہے #5#، کے لئے چار اقدار # ب # کام.

# a = 6 #جیسا کہ #10# کی طرف سے تقسیم ہے #2#ہمیں ہونا ضروری ہے # ب # کے طور پر تقسیم کی طرف سے #3#، یہ ہے کہ، # ب = 3 #.

# a = 7 #جیسا کہ #10# کی طرف سے تقسیم نہیں ہے #7#ہمیں ہونا ضروری ہے # ب # کے طور پر تقسیم کی طرف سے #7#. لیکن #b <5 #، اور اس کے لئے کوئی قدر نہیں # ب # کام کرتا ہے.

# a = 8 #جیسا کہ #10# کی طرف سے تقسیم ہے #2#ہمیں ہونا ضروری ہے # ب # کے طور پر تقسیم کی طرف سے #4#، یہ ہے کہ، # ب = 4 #

# a = 9: # جیسا کہ #10# کی طرف سے تقسیم نہیں ہے #3#ہمیں ہونا ضروری ہے # ب # کے طور پر تقسیم کی طرف سے #3^2#. لیکن #b <5 #، اور اس کے لئے کوئی قدر نہیں # ب # کام کرتا ہے.

یہ ہر معاملے کو ختم کرتا ہے، اور اسی طرح، ان کو شامل کرنے کے، ہم حاصل کرتے ہیں، جیسا کہ سوال میں پایا جاتا ہے، #17# اقدار تاہم، یہ طریقہ آسانی سے زیادہ سے زیادہ اقدار پر بڑھا جا سکتا ہے. مثال کے طور پر، اگر ہم سے جانا چاہتے تھے #10# کرنے کے لئے #1000#، ہم محدود کریں گے # 1 <= b <100 #. پھر دیکھو # a = 6 #، کہو، ہم چاہتے ہیں #2# تقسیم کرتا ہے #10# اور اس طرح #6# تقسیم کرتا ہے # 10b # صرف اور صرف اس صورت میں #3# تقسیم کرتا ہے # ب #. وہاں ہے #33# کے ملٹی #3# رینج میں # ب #، اور اس طرح #33# تعداد جو ختم ہو جاتی ہے #6# اور تقسیم کی طرف سے ہیں #6# کے درمیان #10# اور #1000#.

مندرجہ بالا مشاہدوں کا استعمال کرتے ہوئے، ایک چھوٹا سا، آسان سنجیدگی کا حساب کرنا آسان ہے، ہم اس کے درمیان انباق کی تعداد لکھ سکتے ہیں #10# اور # 10k # جیسا کہ

#sum_ (n = 1) ^ 9 fl (k / (n / gcd (n، 10))) = sum_ (n = 1) ^ 9 fl ((k * gcd (n، 10)) / n) #

کہاں #fl (x) # فرش کی تقریب، نقشہ جات کی نمائندگی کرتا ہے #ایکس# کم سے کم یا برابر کے برابر سب سے بڑا انوجٹر #ایکس#.