آپ عمودی کے ساتھ ایک متوازی لاگت کے علاقے کو کیسے ڈھونڈتے ہیں؟

جواب:

متوازی لاگت کے لئے #اے، بی، سی، ڈی# یہ علاقہ ہے

#S = | (x_B-x_A) * (Y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

وضاحت:

آتے ہیں کہ ہمارا متوازی علامت ہے #اے، بی، سی، ڈی# اس کے چار عمودیوں کے قواعد و ضوابط کی طرف سے بیان کیا جاتا ہے - # x_A، y_A #, # x_B، y_B #, # x_C، y_C #, # x_D، y_D #.

ہمارے متوازی الحمام کے علاقے کا تعین کرنے کے لئے، ہمیں اس کی بنیاد کی ضرورت ہوتی ہے # | AB | # اور اونچائی # | DH | # عمودی سے # D # اشارہ کرنا # H # طرف # AB # (یہ ہے کہ، #DH_ | _AB #).

سب سے پہلے، کام کو آسان بنانے کے لئے، چلو اسے اپنی حیثیت پر منتقل کر دیں # A # ہم آہنگی کی اصل میں شامل ہیں. علاقے ایک ہی ہو گا، لیکن حسابات آسان ہو جائیں گے.

لہذا ہم ہم آہنگی کے مندرجہ ذیل تبدیلی کو انجام دیں گے:

# U = x-x_A #

# V = y-y_A #

پھر (# U، V #) تمام عمودی کی سمتوں میں ہو گی:

#A U_A = 0، V_B = 0 #

# بی U_B = x_B-x_A، V_B = y_B-y_A #

#C U_C = x_C-x_A، V_C = y_C-y_A #

# ڈی U_D = x_D-x_A، V_D = y_D-y_A #

ہمارا متوازی جملہ اب دو ویکٹر کی طرف سے بیان کیا جاتا ہے:

# p = (U_B، V_B) # اور # q = (U_D، V_D) #

بیس کی لمبائی کا تعین کریں # AB # ویکٹر کی لمبائی کے طور پر # p #:

# | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #

اونچائی کی لمبائی # | DH | # جیسا کہ اظہار کیا جا سکتا ہے # | AD | * گناہ (/ _ BAD) #.

لمبائی # AD # ویکٹر کی لمبائی ہے # q #:

# | AD | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

زاویہ # / _ بڈ # ویکٹروں کے اسکالر (ڈاٹ) کی مصنوعات کے لئے دو اظہار کا استعمال کرکے مقرر کیا جا سکتا ہے # p # اور # q #:

# (p * q) = U_B * U_D + V_B * V_D = | p | * | q | * cos (/ _ BAD) #

جس سے

# cos ^ 2 (/ _ BAD) = (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) # #

# گناہ ^ 2 (/ _ بیڈ) = 1 کاسم ^ 2 (/ _ برا) = #

# = 1- (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) = = #

# = (U_B * V_D-V_B * U_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

اب ہم علاقے کا حساب کرنے کے لئے تمام اجزاء جانتے ہیں:

بنیاد # | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #:

اونچائی # | DH | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) * | U_A * V_D-V_A * U_D | / sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

علاقے ان کی مصنوعات ہے:

#S = | AB | * | DH | = | U_B * V_D-V_B * U_D | #

اصل معاہدے کے لحاظ سے، ایسا لگتا ہے:

#S = | (x_B-x_A) * (Y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

جواب:

ایک اور بحث

وضاحت:

جیومیٹک ثبوت

اعداد و شمار پر غور

ہم آسانی سے ایک متوازی لاگت ABCD کے علاقے کے حساب کے لئے فارمولہ قائم کر سکتے ہیں، جب کسی بھی تین عمودی (کہتے ہیں کہ A، B، D) معلوم ہوتا ہے.

چونکہ ڈریگنالل بی ڈی نے متوازی مثلث دو متضاد مثلث میں بیزار کر لی ہے.

متوازی الحرم ABCD کے علاقے

= 2 مثلث ABD کے علاقے

= 2 ٹریپیزیمیم BAPQ + علاقہ نیٹ ورک کے BQRD علاقے - نیٹ ورک ڈراپ کے علاقے

=2# 1/2 (AP + BQ) PQ + 1/2 (BQ + DR) QR-1/2 (AP + DR) PR #

= # (Y_A + Y_B) (X_B-X_A) + (Y_B + Y_D) (X_D-X_B) - (Y_A + Y_D) (X_D-X_A) #

=# Y_AX_B + منسوخ کر دیں (Y_BX_B) -خلیل (Y_AX_A) -Y_BX_A + Y_BX_D + منسوخ (Y_DX_D) -خلیل (Y_BX_B) -Y_AX_D-cancel (Y_DX_D) + منسوخ کریں (Y_AX_A) + Y_DX_A #

=#Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) #

یہ فارمولہ متوازی لاگت کے علاقے کو دے گا.

ویکٹر پر غور ثبوت

یہ بھی غور کیا جا سکتا ہے #vec (AB) # اور# ویسی (AD) #

ابھی

نقطہ اے کے مقام کی ویکٹر ایک وی.آر.، اصل اے، #vec (OA) = X_Ahati + Y_Ahatj #

نقطہ ب وے کی حیثیت ویکٹر، اصل اے، #vec (OB) = X_Bhat + Y_Bhatj #

نقطہ ڈی وی.ر کی پوزیشن ویکٹر، اصل اے، #vec (OD) = X_Dhati + Y_Dhatj #

ابھی

Parallelogram ABCD کے علاقے

# = بیس (ع)) اونچائی (بی بی) = AD * h #

# = AD * ABSintheta = | ویسی (AD) XVC (AB) | #

ایک بار پھر

#vec (AD) = ویسی (او ڈی) -ویک (او اے) = (X_D-X_A) hati + (Y_D-Y_A) hatj #

#vec (AB) = ویسی (او بی) -ویک (او اے) = (X_B-X_A) ٹوپی + (Y_B-Y_A) hatj #

#vec (AD) #ایکس#vec (AB) = (X_D-X_A) (Y_B-Y_A) - (X_B-X_A) (Y_D-Y_A) hatk #

ایریا = # | ویسی (AD) #ایکس#vec (AB) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D + منسوخ (Y_AX_A) -Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B-منسوخ (Y_AX_A) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) | #

اس طرح ہمارے پاس ایک ہی فارمولہ ہے