کیا ہے (1-3i) / sqrt (1 + 3i) برابر؟

جواب:

# (1-3i) / sqrt (1 + 3i) #

# = (- 2 اسقرہ ((چوٹ (10 مربع +1) / 2) + 3/2 اسقرٹ ((چوٹ (10) -1) / 2)) - (2 ایسپرٹ ((چوٹ ((چوٹ (10) -1) / 2) + 3/2 قارئین ((sqrt (10) +1) / 2)) میں #

وضاحت:

عام طور پر مربع جڑیں # a + bi # ہیں:

# (- (sqrt ((sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) + a) / 2)) + (b / abs (b) sqrt ((sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) -a) / 2)) i) #

دیکھیں:

کی صورت میں # 1 + 3i #، اصلی اور غیر معمولی حصوں دونوں مثبت ہیں، لہذا یہ Q1 میں ہے اور ایک اچھی طرح سے مقررہ پرنسپل مربع جڑ ہے:

#sqrt (1 + 3i) #

# = sqrt ((sqrt (1 ^ 2 + 3 ^ 2) +1) / 2) + sqrt ((sqrt (1 ^ 2 + 3 ^ 2) -1) / 2) میں #

# = sqrt ((sqrt (10) +1) / 2) + sqrt ((sqrt (10) -1) / 2) میں #

تو:

# (1-3i) / sqrt (1 + 3i) #

# = ((1-3i) sqrt (1 + 3i)) / (1 + 3i) #

# = ((1-3i) ^ 2 sqrt (1 + 3i)) / ((1 + 3i) (1-3i)) #

# = ((1-3i) ^ 2 sqrt (1 + 3i)) / 4 #

# = 1/4 (1-3i) ^ 2 (sqrt ((مربع (10) +1) / 2) + sqrt ((چوٹ (10 sq. -1) / 2) i) #

# = 1/4 (-8-6i) (sqrt ((sqrt (10) +1) / 2) + sqrt ((sqrt (10) -1) / 2) i) #

# = - 1/2 (4 + 3i) (چوڑائی ((چوڑائی (10) +1) / 2) + مربع ((چوڑائی (10) -1) / 2) میں) #

# = - 1/2 ((4 قارئین ((چوٹ (10 مربع +1) / 2) -3 سیکرٹری ((چوڑائی (10) -1) / 2)) + (4 سیکرٹری ((چوٹ ((چوٹ (10) -1) / 2) + 3sqrt ((sqrt (10) +1) / 2)) i) #

# = (- 2 اسقرہ ((چوٹ (10 مربع +1) / 2) + 3/2 اسقرٹ ((چوٹ (10) -1) / 2)) - (2 ایسپرٹ ((چوٹ ((چوٹ (10) -1) / 2) + 3/2 قارئین ((sqrt (10) +1) / 2)) میں #