Q.1 اگر الفا، بیٹا مساوات کی جڑ ہیں x ^ 2-2x + 3 = 0 مساوات حاصل کریں جن کی جڑیں الفا ^ 3-3 الفا ^ 2 + 5 الفا -2 اور بیٹا ^ 3-بیٹا ^ 2 + بیٹا + 5؟

# ق 1 # اگر # الفا، بیٹا # مساوات کی جڑیں ہیں # x ^ 2-2x + 3 = 0 # مساوات حاصل کریں جن کی جڑیں ہیں # الفا ^ 3-3 الفا ^ 2 + 5 الفا -2 # اور # بیٹا ^ 3-بیٹا ^ 2 + بیٹا + 5 #?

جواب

دیئے گئے مساوات # x ^ 2-2x + 3 = 0 #

# => x = (2pmsqrt (2 ^ 2-4 * 1 * 3)) / 2 = 1pmsqrt2i #

چلو # الفا = 1 + sqrt2i اور بیٹا = 1-sqrt2i #

اب دو

# گاما = الفا ^ 3-3 الفا ^ 2 + 5 الفا -2 #

# => گاما = الفا ^ 3-3 الفا ^ 2 + 3 الفا -1 + 2الفا -1 #

# => گاما = (الفا -1) ^ 3 + الفا -1 + الفا #

# => gamma = (sqrt2i) ^ 3 + sqrt2i + 1 + sqrt2i #

# => gamma = -2qrt2i + sqrt2i + 1 + sqrt2i = 1 #

اور دو

# ڈیلٹا = بیٹا ^ 3-بیٹا ^ 2 + بیٹا + 5 #

# => ڈیلٹا = بیٹا ^ 2 (بیٹا 1) + بیٹا + 5 #

# => ڈیلٹا = (1-sqrt2i) ^ 2 (-sqrt2i) + 1-sqrt2i + 5 #

# => ڈیلٹا = (- 1-2 سیکتر 2) (- sqrt2i) + 1-sqrt2i + 5 #

# => ڈیلٹا = sqrt2i-4 + 1-sqrt2i + 5 = 2 #

تو چوک مساوات جڑیں ہیں #gamma اور ڈیلٹا # ہے

# x ^ 2- (گاما + ڈیلٹا) x + gammadelta = 0 #

# => ایکس ^ 2- (1 + 2) x + 1 * 2 = 0 #

# => x ^ 2-3x + 2 = 0 #

# Q.2 # اگر مساوات کا ایک جڑ ہے # محور 2 + BX + C = 0 # دوسرا مربع ہو،

ثابت کریں # b ^ 3 + a ^ 2c + ac ^ 2 = 3abc #

ایک جڑ بننا # الفا # پھر دوسری جڑ ہو گی # الفا ^ 2 #

تو # الفا ^ 2 + الفا = -b / a #

اور

# الفا ^ 3 = c / a #

# => الفا ^ 3-1 = c / a-1 #

# => (الفا -1) (الفا ^ 2 + الفا + 1) = c / a-1 = (c-a) / a #

# => (الفا -1) (- b / a + 1) = (c-a) / a #

# => (الفا -1) ((A-B) / a) = (c-a) / a #

# => (الفا -1) = (c-a) / (A-B) #

# => الفا = (c-a) / (A-B) + 1 = (سی-بی) / (A-B) #

ابھی #alpha # چوک مساوات کی جڑوں میں سے ایک ہے # محور 2 + BX + C = 0 # ہم لکھ سکتے ہیں

# aalpha ^ 2 + balpha + c = 0 #

# => ایک ((c-b) / (a-b)) ^ 2 + b ((c-b) / (a-b)) + c = 0 #

# => ایک (سی-بی) ^ 2 + بی (سی بی بی) (A-B) + C (A-B) ^ 2 = 0 #

# => AC ^ 2-2abc + ab ^ 2 + abc-ab ^ 2-b ^ 2c + b ^ 3 + ca ^ 2-2abc + b ^ 2c = 0 #

# => b ^ 3 + a ^ 2c + ac ^ 2 = 3abc #

ثابت

متبادل

# aalpha ^ 2 + balpha + c = 0 #

# => aalpha + b + c / alpha = 0 #

# => ایک (c / a) ^ (1/3) + b + c / ((c / a) ^ (1/3)) = 0 #

# => c ^ (1/3) a ^ (2/3) + c ^ (2/3) a ^ (1/3) = - b #

# => (c ^ (1/3) a ^ (2/3) + c ^ (2/3) a ^ (1/3)) ^ 3 = (- b) ^ 3 #

# => (سی ^ (1/3) ایک ^ (2/3)) ^ 3 + (سی ^ (2/3) ایک ^ (1/3)) ^ 3 + 3 سی ^ (1/3) ایک ^ (2/3) xxc ^ (2/3) ایک ^ (1/3) (c ^ (1/3) ایک ^ (2/3) + c ^ (2/3) ایک ^ (1/3)) = (- ب) ^ 3 #

# => ca ^ 2 + c ^ 2a + 3ca (-b) = (- b) ^ 3 #

# => b ^ 3 + ca ^ 2 + c ^ 2a = 3abc #