کیا مذاق، مفید، ریاضی حقیقت آپ کو معلوم ہے کہ عام طور پر اسکول میں نہیں پڑھا جاتا ہے؟

جواب:

کس طرح "اخراجات کے ٹاورز" کا جائزہ لینے کے لئے، جیسے #2^(2^(2^2))#، اور آخری اعداد و شمار کے بارے میں کیسے کام کرنا ہے # 2 ^ ن، # # این این این #.

وضاحت:

ان "ٹاورز" کا اندازہ کرنے کے لئے، ہم سب سے اوپر شروع کرتے ہیں اور اپنے راستے پر کام کرتے ہیں.

تو:

#2^(2^(2^2))=2^(2^4)=2^16=65,536#

اسی طرح، لیکن تھوڑا سا غیر متعلقہ نوٹ، میں بھی جانتا ہوں کہ کس طرح کے آخری ہندسوں کو کام کرنے کے لئے #2# کسی بھی قدرتی نمائش کو اٹھایا گیا ہے. آخری اعداد و شمار #2# چار اقدار کے درمیان ہمیشہ سائیکلوں کو اٹھایا گیا: #2,4,8,6#.

#2^1=2,# #2^2=4,# #2^3=8,# #2^4=16#

#2^5=32,# #2^6=64,# #2^7=128,# #2^8=256#

لہذا اگر آپ آخری اعداد و شمار تلاش کرنا چاہتے ہیں # 2 ^ n #، اس جگہ کو تلاش کریں جسے وہ سائیکل میں ہے، اور آپ اس کے آخری عدد کو جان لیں گے.

جواب:

اگر #n> 0 # اور # a # ایک سنجیدگی سے ہے #sqrt (ن) #، پھر:

# sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #

کہاں #b = n-a ^ 2 #

وضاحت:

فرض کریں کہ ہم کچھ تعداد کے مربع جڑ تلاش کرنا چاہتے ہیں #n> 0 #.

اس کے علاوہ ہم یہ نتیجہ چاہتے ہیں کہ ہر قسم کے مرحلے پر دوبارہ کسی قسم کا مسلسل حصہ ملے.

کوشش کریں:

# sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #

#color (سفید) (sqrt (n)) = a + b / (a + a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #

#color (سفید) (sqrt (n)) = a + b / (a + sqrt (n)) #

ذبح کریں # a # حاصل کرنے کے لئے دونوں سروں سے:

#sqrt (n) -a = b / (a + sqrt (n)) #

دونوں اطراف سے مل کر #sqrt (n) + a # حاصل کرنا:

#b = (sqrt (n) -a) (sqrt (n) + a) = n-a ^ 2 #

تو اگر # a ^ 2 # کم سے کم ہے # n #، پھر # ب # چھوٹا ہو جائے گا اور مسلسل حصہ تیز ہو جائے گا.

مثال کے طور پر، اگر ہمارے پاس ہے # n = 28 # اور منتخب کریں # a = 5 #، پھر ہم حاصل کرتے ہیں:

#b = n-a ^ 2 = 28-5 ^ 2 = 28-25 = 3 #

تو:

#sqrt (28) = 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + …))))) #

جس میں ہمیں قریبی نقطہ نظر فراہم کرتی ہے:

#sqrt (28) 5 + 3/10 = 5.3 #

#sqrt (28) 5 + 3 / (10 + 3/10) = 545/103 5.29126 #

#sqrt (28) 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3/10)) = 5609/1060 5.2915094 #

ایک کیلکولیٹر مجھے بتاتا ہے #sqrt (28) 5.291502622 #

لہذا یہ خاص طور پر تیزی سے بدلتا نہیں ہے.

متبادل طور پر، ہم ڈال سکتے ہیں # n = 28 # اور # a = 127/24 # تلاش کرنے کے لئے:

# ب = ن-ایک ^ 2 = 28-127 ^ 2/24 ^ 2 = 28-16129 / 576 = (16128-16129) / 576 = -1 / 576 #

تو:

#Sqrt (28) = 127 / 24- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127/12 -…))) #

ہمیں قربت دینے

#sqrt (28) 127/24 = 5.291 بار (6) #

#sqrt (28) 127 / 24- (1/576) / (127/12) = 32257/6096 5.29150262467 #

یہ بہت تیزی سے بدل رہا ہے.

جواب:

آپ کو دوبارہ باریک طور پر بیان کردہ ترتیب کا استعمال کرتے ہوئے مربع جڑوں میں سنجیدگی سے مل سکتی ہے.

وضاحت:

# رنگ (سفید) () #

طریقہ کار

مثبت اشارہ دیا گیا # n # جو ایک بہترین مربع نہیں ہے:

• چلو #p = منزل (sqrt (n)) # جس کا سب سے بڑا مثبت عدد ہے جس کے مربع سے زیادہ نہیں ہے # n #.

• چلو #q = n-p ^ 2 #

• انٹیگزر کی ترتیب کی وضاحت کریں:

  # {(a_1 = 1)، (a_2 = 2p)، (a_ (i + 2) = 2pa_ (i + 1) + qa_i "for" i> = 1):} #

اس کے بعد ترتیب کے مسلسل شرائط کے درمیان تناسب کی طرف اشارہ ہوتا ہے # p + sqrt (ن) #

# رنگ (سفید) () #

مثال

چلو # n = 7 #.

پھر #p = منزل (sqrt (7)) = 2 #، کے بعد سے #2^2=4 < 7# لیکن #3^2 = 9 > 7#.

پھر # q = n-p ^ 2 = 7-2 ^ 2 = 3 #

تو ہماری ترتیب شروع ہوتی ہے:

#1, 4, 19, 88, 409, 1900, 8827, 41008,…#

اصول میں مسلسل اصطلاحات کے درمیان تناسب کی طرف اشارہ کرنا چاہئے # 2 + sqrt (7) #

چلو دیکھتے ہیں:

#4/1 = 4#

#19/4 = 4.75#

#88/19 ~~ 4.63#

#409/88 ~~ 4.6477#

#1900/409 ~~ 4.6455#

#8827/1900 ~~ 4.645789#

#41008/8827 ~~ 4.645746#

یاد رکھیں کہ # 2 + sqrt (7) 4.645751311 #

# رنگ (سفید) () #

یہ کیسے کام کرتا ہے

فرض کریں کہ ہمارے پاس دیئے گئے اقدار کی طرف سے وضاحت کی ترتیب ہے # a_1، a_2 # اور ایک اصول:

#a_ (n + 2) = 2p a_ (n + 1) + q a_n #

کچھ رکاوٹوں کے لئے # p # اور # q #.

مساوات پر غور کریں:

# x ^ 2-2px-q = 0 #

اس مساوات کی جڑیں ہیں:

# x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

# x_2 = p-sqrt (p ^ 2 + q) #

پھر عام اصطلاح کے ساتھ کسی بھی ترتیب # Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n # ہم نے متعین ریورینس حکمران کو پورا کرے گا.

اگلا حل:

# {(Ax_1 + Bx_2 = a_1)، (Ax_1 ^ 2 + Bx_2 ^ 2 = a_2):} #

کے لئے # A # اور # بی #.

ہم تلاش کریں:

# a_1x_2-a_2 = ax_1 (x_2-x_1) #

# a_1x_1-a_2 = Bx_2 (x_1-x_2) #

اور اس وجہ سے

# A = (a_1x_2-a_2) / (x_1 (x_2-x_1)) #

# بی = (a_1x_1-a_2) / (x_2 (x_1-x_2)) #

تو ان اقدار کے ساتھ # x_1، x_2، A، B # ہم نے ہیں:

#a_n = Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n #

اگر #q <3p ^ 2 # پھر #abs (x_2) <1 # اور مسلسل شرائط کے درمیان تناسب کی طرف اشارہ ہوتا ہے # x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

جواب:

ماڈیولر ڈویژن

وضاحت:

ماڈیولر ڈویژن صرف ایک ہی فرق کے طور پر ہے جس کا جواب اصل قیمت کے بجائے باقی ہے. بجائے #-:# علامت، آپ استعمال کرتے ہیں #%# علامت.

مثال کے طور پر، عام طور پر، اگر آپ حل کر رہے تھے #16-:5# آپ ملیں گے #3# باقی #1# یا #3.2#. تاہم، ماڈیولر ڈویژن کا استعمال کرتے ہوئے، #16%5=1#.

جواب:

سمتوں کے ساتھ چوکوں کا اندازہ

وضاحت:

عام طور پر، آپ کو اس طرح کے طور پر چوکوں کو پتہ ہونا چاہئے #5^2=25#. تاہم، جب تعداد بڑی ہو جاتی ہے #25^2#، یہ آپ کے سر کے سب سے اوپر کو جاننے کے لئے مشکل ہو جاتا ہے.

میں نے محسوس کیا کہ تھوڑی دیر کے بعد، چوکوں کی تعداد میں عجیب تعداد کی باتیں ہیں.

میرا مطلب یہ ہے کہ:

#sum_ (n = 0) ^ k 2n + 1 # کہاں # k # بنیاد قیمت مائنس ہے #1#

تو #5^2# کے طور پر لکھا جا سکتا ہے:

#sum_ (n = 0) ^ 4 2n + 1 #

یہ آپ کو دے گا:

#1+3+5+7+9#

یہ، حقیقت میں ہے #25#.

چونکہ یہ تعداد ہمیشہ بڑھتی ہوئی ہوتی ہے #2#، پھر میں پہلی اور آخری نمبر شامل کرسکتا ہوں اور پھر ضرب کر سکتا ہوں # k / 2 #.

اب تک #25^2#

#sum_ (n = 0) ^ 24 2n + 1 = 1 + 3 + … + 49 #

تو میں صرف کر سکتا ہوں #(49+1)(25/2)# اور حاصل کرو #25^2# کونسا #625#.

یہ واقعی عملی نہیں ہے لیکن جاننا دلچسپ ہے.

# رنگ (سفید) () #

بونس

یہ جان کر کہ:

# n ^ 2 = اضافے (1 + 3 + 5 + … + (2 این -1)) ^ "ن شرائط" = ((1 + (2 این -1)) 2 / ^ # 2 #

ہمیں چوکوں کے اختلافات کے بارے میں کچھ مسائل کو حل کرنے کی اجازت دیتا ہے.

مثال کے طور پر، مثبت اشارے میں تمام حل کیا ہیں #m، n # کی # م ^ 2-ن ^ 2 = 40 # ?

اس کو تلاش کرنے کے لئے کم ہو جاتا ہے کہ مسلسل عجیب انٹیگشرز کا اضافہ کیا ہوا ہے #40#…

# 40 = زیادہ سے زیادہ (19 + 21) ^ "اوسط 20" #

# رنگ (سفید) (40) = (1 + 3 + … + 21) - (1 + 3 + … + 17) #

# رنگ (سفید) (40) = ((1 + 21) / 2) ^ 2 + ((1 + 17) / 2) ^ 2 #

# رنگ (سفید) (40) = 11 ^ 2-9 ^ 2 #

# 40 = زیادہ سے زیادہ (7 + 9 + 11 + 13) ^ "اوسط 10" #

# رنگ (سفید) (40) = (1 + 3 + … + 13) - (1 + 3 + 5) #

# رنگ (سفید) (40) = ((1 + 13) / 2) ^ 2 - ((1 + 5) / 2) ^ 2 #

# رنگ (سفید) (40) = 7 ^ 2-3 ^ 2 #