خلاصہ، فرق، ڈبل زاویہ یا نصف زاویہ فارمولہ استعمال کرتے ہوئے آپ کو cos58 کی صحیح قیمت کیسے ملتی ہے؟

جواب:

یہ جڑوں میں سے ایک ہے #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) # کہاں #T_n (x) # ہے # n #پہلی قسم کے تھبسیف پولینومیل. یہ چالیس چھ جڑوں میں سے ایک ہے:

# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 30 + 4964023879598080 x ^ 28 - 2978414327758848 x ^ 26 + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12- 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8- 9974272 x ^ 6 + 155848 x ^ 4 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 + 37917148110127104 x ^ 34 - 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 20- 88826760009600 x ^ 18 - 14613311324160 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 14 - 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #

وضاحت:

# 58 ^ سر # ایک سے زیادہ نہیں ہے # 3 ^ سر #. کے ملحقات # 1 ^ سر # یہ ملٹی نہیں ہیں # 3 ^ سر # سیدھے اور کمپاس کے ساتھ تعمیر نہیں ہیں، اور ان کے ٹرک افعال اضافی، ذلت، ضرب، ڈویژن اور اسکوائر کا استعمال کرتے ہوئے انباج کی کچھ ساخت کا نتیجہ نہیں ہیں.

اس کا مطلب یہ نہیں ہے کہ ہم کچھ اظہار نہیں لکھ سکتے ہیں #cos 58 ^ سر #. چلو ڈگری کے نشان کو ایک عنصر کا مطلب سمجھتے ہیں # {2pi} / 360 #.

# ای ^ {i 58 ^ سر} = کاس 58 ^ سر + + i sin 58 ^ سر #

#e ^ {- i 58 ^ سر} = کاس 58 ^ سر - i sin 58 ^ سر #

# ای ^ {i 58 ^ سر} + ای ^ {- میں 58 ^ سر} = 2 کاس 58 ^ سر #

#cos 58 ^ سر = 1/2 (ای ^ {i 58 ^ سر) + ای ^ {- میں 58 ^ سر}} #

یہ مددگار نہیں ہے.

ہم جن کی جڑیں ہیں ان میں سے ایک پولنومی مساوات کو لکھنے کی کوشش کر سکتے ہیں #cos 58 ^ سر # لیکن شاید یہ فٹ ہونے کے لئے بہت بڑا ہونا ہوگا.

# theta = 2 ^ circ # ہے #180#ایک دائرے میں. چونکہ #cos 88 ^ سر = -کاس 92 ^ سر # اس کا مطلب #cos 2 ^ سر # مطمئن

#cos (44 theta) = -cos (46tata) #

#cos (180 ^ سر -44 تھیٹا) = کاسم (46 تھیٹا) #

چلو اس کے لئے حل کریں # theta # پہلا. #cos x = cos # جڑیں ہیں # x = بجے ایک + 360 ^ سر ک، # اشارہ # k #.

# 180 ^ سر -46 تھیٹا = PM 44 تھیٹا - 360 ^ سرک #

# 46 تھیٹا PM 44 تھیٹا = 180 ^ سر + 360 ^ سرکل #

#theta = 2 ^ سر + 4 ^ سر K یا theta = 90 ^ سر + 180 ^ سر ک #

یہ بہت جڑ ہے، اور ہم دیکھتے ہیں # theta = 58 ^ circ # ان کے درمیان.

پالینیوم #T_n (x) #، پہلی قسم کی Chebyshev Polynomials کہا جاتا ہے، مطمئن #cos (ntata) = T_n (cos theta) #. ان کے پاس انضمام جغرافیہ ہیں. ہم ڈبل اور ٹرپل زاویہ کے فارمولوں سے پہلے کچھ جانتے ہیں:

#cos (0 theta) = 1 quad quad # تو# quad quad T_0 (x) = 1 #

#cos (1ta) = costa quad quad # تو# کواڈ کواڈ T_1 (x) = x #

#cos (2ta) = 2cos ^ 2 theta - 1 quad quad # تو # کواڈ کواڈ T_2 (x) = 2x ^ 2-1 #

#cos (3 تھیٹا) = 4cos ^ 3 تھیٹا - 3 کوائف نامہ کواڈ # تو # کواڈ کواڈ T_3 (ایکس) = 4x ^ 4-3x #

ہم اس بات کی تصدیق کر سکتے ہیں کہ ایک اچھی تلاوت کا سلسلہ ہے:

# T_ {n + 1} (x) = 2x T_ {n} (x) - T_ {n-1} (x) #

تو نظریہ میں ہم ان کو بڑے پیمانے پر پیدا کرسکتے ہیں # n # جیسا کہ ہم دیکھتے ہیں.

اگر ہم کرتے ہیں # x = cos theta، # ہمارے مساوات

#cos (44 theta) = -cos (46tata) #

بن جاتا ہے

#T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) #

Wolfram الفا ہمیں یہ بتانا خوشی ہے کہ وہ کیا ہیں. میں ریاضی انجام دینے کی آزمائش کے لئے صرف مساوات لکھوں گا.

# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 30 + 4964023879598080 x ^ 28 - 2978414327758848 x ^ 26 + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12- 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8- 9974272 x ^ 6 + 155848 x ^ 4 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 + 37917148110127104 x ^ 34 - 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 20- 88826760009600 x ^ 18 - 14613311324160 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 14 - 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #

جی ہاں، یہ جواب طویل ہو رہا ہے، شکریہ اشتہاری. ارے، انٹیگر گائیوں کے ساتھ 46 ویں ڈگری پالینیوم کی جڑیں میں سے ایک ہے # کاس 58 ^ سر #.