تقریب کا ڈومین اور رینج کیا ہے: x ^ 2 / (1 + x ^ 4)؟

جواب:

ڈومین ہے # (- oo، oo) # اور رینج #0, 1/2#

وضاحت:

دیئے گئے:

#f (x) = x ^ 2 / (1 + x ^ 4) #

نوٹ کریں کہ کسی بھی حقیقی قدر کے لئے #ایکس#ڈینومٹر # 1 + x ^ 4 # غیر صفر ہے.

لہذا #f (x) # کسی بھی حقیقی قدر کے لئے اچھی طرح بیان کی گئی ہے #ایکس# اور اس کا ڈومین ہے # (- oo، oo) #.

رینج کا تعین کرنے کے لئے، چلو:

#y = f (x) = x ^ 2 / (1 + x ^ 4) #

دونوں سروں سے ضرب ہوجائیں # 1 + x ^ 4 # حاصل کرنا:

#y x ^ 4 + y = x ^ 2 #

ذبح کرنا # x ^ 2 # دونوں طرف سے، ہم اس کو دوبارہ لکھ سکتے ہیں:

#y (x ^ 2) ^ 2- (x ^ 2) + y = 0 #

اس کا اصل حل صرف اس صورت میں ہوگا اگر اس کے تبعیض غیر منفی ہے. ڈالنا # a = y #, # ب = -1 # اور # c = y #، متضاد # ڈیلٹا # کی طرف سے دیا جاتا ہے

# ڈیلٹا = b ^ 2-4ac = (-1) ^ 2-4 (y) (y) = 1-4y ^ 2 #

تو ہمیں ضرورت ہے:

# 1-4y ^ 2> = 0 #

لہذا:

# y ^ 2 <= 1/4 #

تو # -1 / 2 <= y <= 1/2 #

اس کے علاوہ نوٹ کریں #f (x)> = 0 # کے تمام حقیقی اقدار کے لئے #ایکس#.

لہذا # 0 <= y <= 1/2 #

تو کی حد #f (x) # ہے #0, 1/2#