F (x، y) = x ^ 2 + 13y ^ 2-6xy-4y-2 کی کم از کم قیمت ہے؟

#f (x، y) = x ^ 2 + 13y ^ 2-6xy-4y-2 #

# => f (x، y) = x ^ 2-2 * x * (3y) + (3y) ^ 2 + (2y) ^ 2-2 * (2y) * 1 + 1 ^ 2-3 #

# => f (x، y) = (x-3y) ^ 2 + (2y-1) ^ 2-3 #

ہر ایک مربع اظہار کی کم از کم قیمت صفر ہونا ضروری ہے.

تو # f (x، y) _ "min" = - 3 #

جواب:

ایک نسبتا کم از کم ہے #(3/2,1/2)# اور #f (3 / 2،1 / 2) = 3 3 #

وضاحت:

مجھے لگتا ہے کہ ہمیں جزوی ڈیویوٹیوٹس کا حساب کرنا ہوگا.

یہاں،

#f (x، y) = x ^ 2 + 13y ^ 2-6xy-4y-2 #

پہلا جزوی ڈیوئٹیکیٹس ہیں

# (ڈیل) / (delx) = 2x-6y #

# (ڈیل) / (ڈیل) = 26y-6x-4 #

اہم نقطہ نظر ہیں

# {(2x-6y = 0)، (26y-6x-4 = 0):} #

#<=>#, # {(3y = x)، (26y-6 * 3y-4 = 0):} #

#<=>#, # {(3y = x)، (8y = 4):} #

#<=>#, # {(x = 3/2)، (y = 1/2):} #

دوسرا جزوی ذیابیطس ہیں

# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #

# (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 26 #

# (del ^ 2f) / (delxdely) = - 6 #

# (del ^ 2f) / (delydelx) = - 6 #

ہیسان میٹرکس کا تعین کنندہ ہے

#D (x، y) = | ((del ^ 2f) / (delx ^ 2)، (del ^ 2f) / (delxdely))، ((del ^ 2f) / (dely ^ 2)، (del ^ 2f) / (delydelx)) | #

#=|(2,-6),(-6,26)|#

#=52-36#

#=16>0#

جیسا کہ # D (x، y)> 0 #

اور

# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2> 0 #

ایک نسبتا کم از کم ہے #(3/2,1/2)#

اور

#f (3 / 2،1 / 2) = 1.5 ^ 2 + 13 * 0.5 ^ 2-6 * 1.5 * 0.5-4 * 0.5-2 = -3 #