فاسٹ کلاس کے فیکٹری مسلسل مسلسل (ایف سی ایف) کی طرف سے تعریف کی گئی ہے (cf) (x؛ b) = a ^ (x + b / (a ^ (x + b / a ^ (x + ...)))) ، ایک> 0. ایک = ای = 2.718281828 ترتیب دینے پر، آپ کو کیسے ثابت ہوتا ہے کہ e_ (سیف) (0.1؛ 1) = 1.880789470، تقریبا؟

جواب:

وضاحت ملاحظہ کریں …

وضاحت:

چلو #t = a_ (cf) (x؛ b) #

پھر:

#t = a_ (cf) (x؛ b) = a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + …)))) = a ^ (x + b / (a_ (cf) (x؛ b))) = a ^ (x + b / t) #

دوسرے الفاظ میں، # t # تعریفیں کا ایک مقررہ نقطہ ہے:

# ایف_ (ایک، بی، ایکس) (t) = a ^ (x + b / t) #

نوٹ کریں کہ خود کی طرف سے، # t # ایک مقررہ نقطہ نظر ہے # ایف (ٹی) # یہ ثابت کرنے کے لئے کافی نہیں ہے #t = a_ (cf) (x؛ b) #. شاید غیر مستحکم اور مستحکم فکسڈ پوائنٹس ہوسکتے ہیں.

مثال کے طور پر، #2016^(1/2016)# ایک مقررہ نقطہ ہے #x -> x ^ x #، لیکن ایک حل نہیں ہے # x ^ (ایکس ^ (ایکس ^ (ایکس ^ …))) = 2016 # (کوئی حل نہیں ہے).

تاہم، ہم پر غور کریں #a = e #, #x = 0.1 #, #b = 1.0 # اور #t = 1.880789470 #

پھر:

# ایف_ (ایک، بی، ایکس) (ٹی) = ای ^ (0.1 + 1 / 1.880789470) #

# (^ ^ (0.1 + 0.5316916199) #

# = ای ^ 0.6316916199 #

# 1.880789471 #

تو اس کی قیمت # t # ایک مقررہ نقطہ کے قریب بہت قریب ہے # ایف_ (ایک، بی، ایکس) #

اس بات کا ثابت کرنے کے لئے کہ یہ مستحکم ہے، قریب ڈائنیوٹک پر غور کریں # t #.

# d / (ds) F_ (e، 1،0.1) (s) = d / (ds) e ^ (0.1 + 1 / s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0.1 + 1 / s) #

تو ہم تلاش کریں:

# ایف '_ (ای، 1،0.1) (ٹی) = -1 / ٹی ^ 2 ای ^ (0.1 + 1 / ٹی) = -1 / ٹی ^ 2 * t = -1 / t -0.5316916199 #

چونکہ یہ منفی ہے اور مطلق قیمت سے کم ہے #1#، مقررہ نقطہ # t # مستحکم ہے.

یہ بھی نوٹ کریں کہ کسی غیر صفر کی حقیقی قدر کے لئے # s # ہم نے ہیں:

# ایف '_ (ای، 1،0.1) (ے) = -1 / ے ^ 2 ای ^ (0.1 + 1 / ے) <0 #

یہ ہے کہ #F_ (ای، 1،0.1) (ے) # سختی سے ناراضگی سے کم ہے.

لہذا # t # منفرد مستحکم مقررہ نقطہ ہے.

جواب:

معاہدے کا رویہ.

وضاحت:

کے ساتھ #a = e # اور #x = x_0 # تکرار مندرجہ ذیل ہے

#y_ {k + 1} = ای ^ {x_0 + b / y_k} # اور بھی

#y_k = ای ^ {x_0 + b / y_ {k-1}} #

راؤنڈ آپریٹر میں ایک سنکچن کے لئے حالات کی جانچ پڑتال کریں.

دونوں اطراف کو ختم کرنا

#y_ {k + 1} -y_k = e ^ {x_0} (e ^ {b / y_k} -e ^ {b / y_ {k-1}}) #

لیکن پہلی سنجیدگی میں

# e ^ {b / y_k} = e ^ {b / y_ {k-1}} + d / (dy_ {k-1}) (e ^ (b / y_ {k-1})) (y_k-y_ {k-1}) + او ((y_ {k-1}) ^ 2) #

یا

# ای ^ {b / y_k} - ای ^ {b / y_ {k-1}} تقریبا -b (ای ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ ^ 2 () y_k-y_ {k-1}) #

ہمیں ایک سنجیدگی کا سامنا کرنا پڑتا ہے

#abs (y_ {k + 1} -y_k) <abs (y_k-y_ {k-1}) #

اگر یہ حاصل ہوتا ہے

#abs (e ^ {x_0} b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2) <1 #. سپاپو #b> 0 # اور #k = 1 # ہمارے پاس ہے.

# x_0 + b / y_0 <2 لاگ_ (y_0 / b) #

تو دیا # x_0 # اور # ب # یہ تعلق ہمیں معاہدے کے رویے کے تحت ابتدائی تفتیش کو تلاش کرنے کی اجازت دیتا ہے.