ایک آئسسلس مثلث کے دو کونوں میں (1، 3) اور (9، 4) ہیں. اگر مثلث کا علاقہ 64 ہے تو، مثلث کی لمبائی کی لمبائی کیا ہے؟

جواب:

مثلث کے اطراف کی لمبائی:

#sqrt (65)، sqrt (266369/260)، sqrt (266369/260) #

وضاحت:

دو پوائنٹس کے درمیان فاصلے # (x_1، y_1) # اور # (x_2، y_2) # فاصلہ فارمولہ کی طرف سے دیا جاتا ہے:

#d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

تو درمیان فاصلہ # (x_1، y_1) = (1، 3) # اور # (x_2، y_2) = (9، 4) # ہے:

#sqrt ((9-1) ^ 2 + (4-3) ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt (65) #

جس سے ایک غیر معمولی نمبر تھوڑا بڑا ہے #8#.

اگر مثلث کے دوسرے اطراف میں سے ایک ایک ہی لمبائی تھی، تو مثلث کا زیادہ سے زیادہ ممکنہ علاقہ ہوگا:

# 1/2 * sqrt (65) ^ 2 = 65/2 <64 #

تو یہ معاملہ نہیں ہوسکتا. اس کے بجائے، دوسرا دونوں اطراف اسی لمبائی میں رہیں گے.

اطراف کے ساتھ ایک مثلث کو دیا # a = sqrt (65)، b = t، c = t #، ہم اس کے علاقے کو تلاش کرنے کے لئے ہیرو کا فارمولہ استعمال کرسکتے ہیں.

ہرنس فارمولا ہمیں بتاتا ہے کہ ایک مثلث کے علاقے اطراف کے ساتھ #a، b، c # اور نیم پریمیٹ #s = 1/2 (a + b + c) # کی طرف سے دیا جاتا ہے

#A = sqrt (s (a-a) (s-b) (s-c)) #

ہمارے معاملے میں نیم پریمیٹ ہے:

#s = 1/2 (sqrt (65) + t + t) = t + sqrt (65) / 2 #

اور ہیرو کے فارمولا ہمیں بتاتا ہے کہ:

# 64 = 1/2 اسقرٹ ((ٹی + مربع (65) / 2) (ٹی -ٹبعٹ (65) / 2) (چوٹ (65) / 2) (چوڑائی (65) / 2)) #

# رنگ (سفید) (64) = 1/2 ایس آر آر (65/4 (ٹی ^ 2-65 / 4)) #

دونوں سروں سے ضرب ہوجائیں #2# حاصل کرنا:

# 128 = sqrt (65/4 (ٹی ^ 2-65 / 4)) #

حاصل کرنے کے لئے دونوں اطراف چوک:

# 16384 = 65/4 (ٹی ^ 2-65 / 4) #

دونوں اطراف سے مل کر #4/65# حاصل کرنا:

# 65536/65 = t ^ 2-65 / 4 #

منتقلی اور شامل کریں #65/4# دونوں اطراف کو حاصل کرنے کے لئے:

# t ^ 2 = 65536/65 + 65/4 = 262144/260 + 4225/260 = 266369/260 #

حاصل کرنے کے لئے دونوں اطراف کے مثبت مربع جڑ لیں:

#t = sqrt (266369/260) #

لہذا مثلث کی لمبائی لمبائی ہیں:

#sqrt (65)، sqrt (266369/260)، sqrt (266369/260) #

متبادل طریقہ

ہیرو کے فارمولے کو استعمال کرنے کی بجائے، ہم مندرجہ ذیل کی وجہ سے کرسکتے ہیں:

اسکوسیل مثلث کی بنیاد طول و عرض کی ہے:

#sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (65) #

یہ علاقہ ہے # 64 = 1/2 "بیس" xx "اونچائی" #

تو مثلث کی اونچائی یہ ہے:

# 64 / (1/2 sqrt (65)) = 128 / sqrt (65) = (128 اسقر (65)) / 65 #

یہ مثلث کے بیزارکلک بیزارٹر کی لمبائی ہے، جو بیس کے وسط کے ذریعے گزرتا ہے.

تو دوسرا دونوں اطراف ٹانگوں کے ساتھ دو دائیں زاویہ مثلث کے ہایپوٹینیوز بناتے ہیں #sqrt (65) / 2 # اور # (128 سیکنڈ (65)) / 65 #

لہذا پیتگراور نے، ان میں سے ہر ایک کی لمبائی کی ہے:

#sqrt ((sqrt (65) / 2) ^ 2 + ((128qq (65)) / 65) ^ 2) = sqrt (65/4 + 65536/65) = sqrt (266369/260) #