اگر ممکن ہو تو، ایک فنکشن ایف تلاش کریں جیسے کہ گریڈ ایف = (4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2، 6x ^ 3y + 6y ^ 5)؟

جواب:

#f (x، y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

وضاحت:

#del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 y ^ 2 #

# => f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + C_1 (y) #

#del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 y ^ 5 #

# => f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2 (x) #

# "اب لے لو" #

# C_1 (y) = y ^ 6 + c #

# C_2 (x) = x ^ 4 + c #

# "پھر ہمارے پاس ایک اور وہی ہے، جو حالات کو مطمئن کرتا ہے." #

# => f (x، y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

جواب:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

وضاحت:

ہمارے سوال میں غریب نظریات ہیں کیونکہ ڈیل آپریٹر (یا تدریسی آپریٹر) ایک ویکٹر فرق آپریٹر ہے،

ہم ایک فنکشن چاہتے ہیں #f (x، y) # اس طرح کہ:

# بی بی (گریڈ) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2، 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> #

کہاں #bb (گریڈ) # تدریسی آپریٹر ہے:

# "گریڈ" f = بی بی (گریڈ) f = (جزوی ف) / (جزوی ایکس) بی بی (ایل ٹوپی میں) + (جزوی ف) / (جزوی ایکس) بی بی (ایل ٹوپی ج) = << f_x، f_y> > #

ہم سے اس کی ضرورت ہے

# f_x = (جزوی ف) / (جزوی X) = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 # ….. A

# f_y = (جزوی ف) / (جزوی Y) = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 # ….. بی

اگر ہم الف کو پورا کرتے ہیں تو #ایکس#، علاج کرتے وقت # y # مسلسل طور پر ہم حاصل کرتے ہیں:

# f = int 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 dx #

# = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c #

اگر ہم بی کو پورا کرتے ہیں تو # y #، علاج کرتے وقت #ایکس# مسلسل طور پر ہم حاصل کرتے ہیں:

# f = int 6x ^ 3y + 6y ^ 5 d #

# = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

کہاں #u (y) # ایک مباحثہ کار ہے # y # اکیلے، اور #v (x) # ایک خود مختار فنکشن ہے #ایکس# اکیلے

ہم واضح طور پر ان افعال کو ایک جیسے ہونے کی ضرورت ہوتی ہے، اس طرح ہم نے ہیں:

# x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

#:. x ^ 4 + u (y) = y ^ 6 + v (x) #

اور ہم اس کا انتخاب کرتے ہیں #v (x) = x ^ 4 # اور #u (y) = y ^ 6 #، جو ہمیں ہمارے حل فراہم کرتا ہے:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

ہم جزوی ڈیویوٹیوٹس کی حساب سے آسانی سے حل کی تصدیق کر سکتے ہیں:

# f_x = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 #, # f_y = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 #

#:. بی بی (گریڈ) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2، 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> # QED