Sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n کے نگہداشت کا وقفہ کیا ہے؟

جواب:

#x میں (-و، (1 sqrt5) / 2) یو ((1 + sqrt5) / 2، oo) #

وضاحت:

ہم یہ کر سکتے ہیں #sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n # تناسب کے ساتھ ایک جامد درجہ ہے # r = 1 / (x (1-x)) #.

اب ہم جانتے ہیں کہ اس لمبائی کا سلسلہ ابھرتا ہے جب تناسب کی مطلق قیمت 1 سے کم ہے:

# | r | <1 iff-1 <r <1 #

لہذا ہمیں اس مساوات کو حل کرنا ہوگا:

# 1 / (x (1-x)) <1 اور 1 / (x (1-x))> -1 #

چلو پہلے کے ساتھ شروع کرو

# 1 ((x (1-x)) <1 اگر 1 / (x (1-x)) (x (1-x)) / (x (1-x)) <0 iff #

# (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 #

ہم آسانی سے یہ ثابت کر سکتے ہیں کہ شماریات ہمیشہ مثبت ہے اور وقفے وقفہ میں وقفے سے حساس ہے #x میں (-و، 0) یو (1، oo) #.

تو یہ ہماری پہلی مساوات کا حل ہے.

دو مرتبہ دوسرا ملاحظہ کریں.

# 1 / (x (1-x)) + (x (1-x)) / (x (1-x))> اگر اگر (1 + xx ^ 2) / (x (1-x))> 0 #

یہ عدم مساوات کے حل وقفہ:

#x میں (-و، (1 sqrt5) / 2) یو ((1 + sqrt5) / 2، oo) #

لہذا ہمارے سلسلے میں ابھرتے ہوئے جہاں وقفے سے یہ دونوں درست ہیں.

اس طرح ہمدردی کے ہمارے وقفہ یہ ہے:

#x میں (-و، (1 sqrt5) / 2) یو ((1 + sqrt5) / 2، oo) #