Sum_ {n = 0} ^ { infty} (cos x) ^ n کے نگہداشت کا وقفہ کیا ہے؟

$Sum_ {n = 0} ^ { infty} (cos x) ^ n کے نگہداشت کا وقفہ کیا ہے؟$

جواب:

ذیل میں دیکھیں.

وضاحت:

پالینی شناخت کا استعمال کرتے ہوئے

# (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) #

ہم کے لئے ہے #abs x <1 #

#lim_ (n-> oo) (x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x) #

تو، کے لئے #x نی K پی، KZZ # ہمارے پاس ہے

#sum_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x) #

کیا ایک فنکشن جس پر کسی وقفہ وقفہ سے کم ہوتا ہے وہ ہمیشہ اسی وقفہ میں منفی ہوسکتا ہے؟ وضاحت کرو.

نہیں. سب سے پہلے، فنکشن f (x) = -2 ^ x کو واضح طور پر، یہ فنکشن کم اور منفی ہے (ایکس ایکس محور ذیل میں) اس کے ڈومین پر. ایک ہی وقت میں، وقفہ 0 (x = = 1 x ^ 2) 0 <= x <= 1 کے دوران فعل H (x) = 1 x ^ 2 پر غور کریں. اس تقریب میں کہا گیا ہے کہ وقفے وقفے پر کم ہے. تاہم، یہ منفی نہیں ہے. لہذا، وقفے پر یہ کم ہے کہ ایک فنکشن کو منفی نہیں ہونا چاہئے.

Sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})]] ^ n کے نگہداشت کا وقفہ کیا ہے اور ایکس = 3 میں کیا رقم ہے؟

] -و، -4 ["یو"] 5، oo ["ایکس ایکس کے لئے متغیر کا وقفہ ہے" x = 3 متغیر کے وقفہ میں نہیں ہے لہذا ایکس = x کے لئے رقم "oo" کے طور پر رقم کا علاج کریں گے یہ "" z = log_2 ((x + 1) / (x-2) "متبادل" کی طرف سے ایک جیومیٹری سیریز ہو "پھر ہمارے پاس" sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "" for " | Z | <1 "لہذا نگہداشت کا وقفہ ہے" -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 => 1/2 <(x + 1) / (x-2) < 2 => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "OR" (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 منفی)" "مثبت کیس:" => x-2 <2x + 2 &

Sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n کے نگہداشت کا وقفہ کیا ہے؟

ایکس میں (-و، (1-sqrt5) / 2) یو ((1 + sqrt5) / 2، oo) ہم اس sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x)) کر سکتے ہیں.) ^ ن جیومیٹرک سیریز ہے تناسب R = 1 / (x (1-x)). اب ہم جانتے ہیں کہ اس لمحے کے سلسلے میں انعقاد جب تناسب کی مطلق قیمت 1 سے کم ہے: | r | <1 iff-1 <r <1 تو ہمیں اس مساوات کو حل کرنا ضروری ہے: 1 / (x (1-x)) <1 اور 1 / (x (1-x)) -1- ہم سب سے پہلے کے ساتھ شروع کریں: 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) (x (1-x )) ((x (1-x)) <اگر اگر (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 ہم آسانی سے ثابت کر سکتے ہیں کہ شماریات ہمیشہ مثبت ہے اور ڈنومین میں جذباتی ہے وقفہ ایکس (میں، 0) یو (1، oo) میں. تو یہ ہماری پہلی مساوات کا حل ہے.