فرض کریں کہ آر ایس آر ^ 4 میں سبسیس ڈبلیو کے لئے ایک بنیاد اور ایک خاص تعداد کی طول و عرض تھی. طول و عرض کی تعداد 2 کیوں ہے؟

جواب:

4 طول و عرض مائنس 2 رکاوٹ = 2 طول و عرض

وضاحت:

تیسری اور چوتھے نواحی واحد واحد ہیں. گزشتہ دو کی شرائط میں پہلے دو کا اظہار کیا جا سکتا ہے.

جواب:

ایک سبسڈی کا طول و عرض اس کے اڈوں کی طرف سے فیصلہ کیا جاتا ہے، اور نہ کسی ویکٹر کی جگہ کے طول و عرض کی طرف سے یہ سبسائس ہے.

وضاحت:

ویکٹر خلا کی طول و عرض اس جگہ کی بنیاد پر ویکٹر کی تعداد کی طرف سے بیان کی گئی ہے (لامحدود جہتی خالی جگہوں کے لئے، یہ ایک بنیاد کی cardinality کی طرف سے تعریف کی جاتی ہے). نوٹ کریں کہ یہ تعریف مسلسل ہے جیسا کہ ہم ثابت کر سکتے ہیں کہ ویکٹر کی کسی بھی بنیاد کی بنیاد ویکٹروں کو کسی دوسرے بنیاد کے طور پر مل جائے گا.

کی صورت میں # RR ^ n # ہم جانتے ہیں کہ #dim (RR ^ n) = n # جیسا کہ

#{(1,0,0,…0),(0,1,0,…,0),…,(0,0,…,0,1)}#

ایک بنیاد ہے # RR ^ n # اور ہے # n # عناصر.

کی صورت میں #W = s، ٹی آر آر # ہم کسی بھی عنصر میں لکھ سکتے ہیں # W # جیسا کہ #svec (u) + tvec (v) # کہاں #vec (u) = (4،1،0،1) # اور #vec (v) = (-1،0،1،0) #.

اس سے، ہمارے پاس ہے # {vec (u)، vec (v)} # ایک اسپیننگ سیٹ ہے # W #. کیونکہ #vec (u) # اور #vec (v) # واضح طور پر ایک دوسرے کے سکالر مل کر نہیں ہیں (اس کے عہدوں پر غور کریں #0#ے)، اس کا مطلب ہے کہ # {vec (u)، vec (v)} # ایک لکیریی آزاد سپانسنگ سیٹ ہے # W #یہ ایک بنیاد ہے. کیونکہ # W # کے ساتھ ایک بنیاد ہے #2# عناصر، ہم یہ کہتے ہیں #dim (W) = 2 #.

یاد رکھیں کہ ویکٹر کی جگہ کی طول و عرض پر انحصار نہیں ہے کہ آیا اس کے ویکٹر بڑے طول و عرض کے دیگر ویکٹر خالی جگہوں میں موجود ہیں. واحد تعلق یہ ہے کہ اگر # W # ایک سبسڈی ہے # V # پھر #dim (W) <= dim (V) # اور #dim (W) = dim (V) <=> W = V #