Y = [(1-x) ^ (1/2 1/2)] / (2x ^ 2 + 3x + 1) کی حد کیا ہے؟

سب سے پہلے ہم ڈومین پر غور کرتے ہیں:

اس کی قیمتوں کے لئے #ایکس# کیا فنکشن ہے؟

نمبرٹر # (1-ایکس) ^ (1/2) # صرف وضاحت کی جاتی ہے # (1-x)> = 0 #. شامل کرنا #ایکس# اس کے دونوں اطراف میں آپ تلاش کریں گے #x <= 1 #.

ہمیں بھی ڈینومین کو غیر صفر ہونا ضروری ہے.

# 2x ^ 2 + 3x + 1 = (2x + 1) (x + 1) # جب صفر ہے #x = -1 / 2 # اور کب #x = -1 #.

لہذا تقریب کا ڈومین ہے

# {RR میں x: x <= 1 اور ایکس! = -1 اور ایکس! = -1/2} #

وضاحت کریں #f (x) = (1-x) ^ (1/2 1/2) / (2x ^ 2 + 3x + 1) # اس ڈومین پر.

ہم ڈومین میں الگ الگ وقفے پر ہر مسلسل وقفہ پر غور کریں.

ہر صورت میں، دو #epsilon> 0 # ایک چھوٹا سا مثبت نمبر بن

کیس (ا): #x <-1 #

بڑے منفی اقدار کے لئے #ایکس#, #f (x) # چھوٹے اور مثبت ہے.

اس وقفہ کے دوسرے اختتام پر، اگر #x = -1 - epsilon # پھر

#f (x) = f (-1-epsilon) ~ = sqrt (2) / (((2 xx -1) +1) (- 1 - epsilon + 1) #

# = sqrt (2) / epsilon -> + oo # جیسا کہ #epsilon -> 0 #

اب تک #x <-1 # کی حد #f (x) # ہے # (0، + اوو) #

کیس (ب): # -1 / 2 <x <= 1 #

#f (-1 / 2 + ایپسسن) ~ = sqrt (3/2) // ((2 (-1 / 2 + ایپسسن) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = sqrt (3/2) / epsilon -> + oo # جیسا کہ #epsilon -> 0 #

#f (1) = 0/1 = 0 #

اب تک # -1 / 2 <x <= 1 # کی حد #f (x) # ہے # 0، + اوو) #

کیس (سی): # -1 <x <-1 / 2 #

#f (-1 + ایپسسن) ~ = sqrt (2) / (((2xx -1 1 + + 1) (- 1 + ایپسسن + 1)) #

# = -قرآن (2) / ایپسسن -> -و # جیسا کہ #epsilon -> 0 #

#f (-1 / 2-epsilon) ~ = sqrt (3/2) / ((2 (-1 / 2-epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = -قرآن (3/2) / ایپسسن -> -و # جیسا کہ #epsilon -> 0 #

لہذا دلچسپ سوال یہ ہے کہ زیادہ سے زیادہ قیمت کا کیا مطلب ہے #f (x) # اس وقفہ میں. کی قیمت تلاش کرنے کے لئے #ایکس# جس کے لئے یہ صفر ہونے کے لئے متوقع طور پر نظر آتا ہے.

# d / (dx) f (x) #

# = (1/2 (1-x) ^ (- 1/2) xx-1) / (2x ^ 2 + 3x + 1) + ((1-x) ^ (1/2) xx-1xx (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ (- 2) xx (4x + 3)) #

# = (-1/2 (1-x) ^ (- 1/2)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

# = ((-1/2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1)) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3))) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

نمبر صفر صفر ہے جب یہ صفر ہو گا، لہذا ہم حل کرنا چاہیں گے:

# -1 / 2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) = 0 #

کے ذریعے ضرب # 2 (1-ایکس) ^ (1/2) # حاصل کرنا:

# - (2x ^ 2 + 3x + 1) -2 (1-x) (4x + 3) = 0 #

یہ ہے کہ:

# 6x ^ 2-5x-7 = 0 #

جو جڑ ہے # (5 + -قرآن (25 + 4xx6xx7)) / 12 = (5 + -قرآن (194)) / 12 #

ان جڑوں میں سے، #x = (5-sqrtrt (194)) / 12 # متعلقہ وقفہ میں آتا ہے.

اس میں واپس آنا #f (x) # اس وقفہ (تقریبا -10) میں زیادہ تر #f (x) کو تلاش کرنے کے لئے.

یہ مجھ سے پیچیدہ لگتا ہے. کیا میں نے کوئی غلطی کی ہے؟

جواب: تقریب کی حد ہے # (- oo، -10.58) uu 0، oo) #

کے لئے #x میں (-و، -1) # #-># #y میں (0، oo) #

کے لئے #x میں (-1، -0.5) # #-># # میں (-و، -10.58) #

کے لئے #x میں (-0.5، 1 # #-># #y میں 0، oo) #