ڈومین اور رینج f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) کیا ہے؟

جواب:

ڈومین ہے # آر آر # (تمام حقیقی نمبر) اور رینج ہے # 5-مربع (61)) / 72، (5 + sqrt (61)) / 72 #

(اور بشمول کے درمیان تمام حقیقی تعداد # (5 مربع میٹر (61)) / 72 # اور # (5 + sqrt (61)) / 72 #).

وضاحت:

ڈومین میں، ہم تمام حقیقی تعداد کے ساتھ شروع کرتے ہیں، اور پھر کسی بھی کو ہٹا دیں جو ہمیں منفی نمبر کے مربع جڑ پر مجبور کرے گا، یا ایک #0# ایک حصہ کے ڈومینٹر میں.

ایک نظر میں، ہم جانتے ہیں کہ جیسا کہ # x ^ 2> = 0 # تمام حقیقی تعداد کے لئے، # x ^ 2 + 36> = 36> 0 #. اس طرح ڈومینٹر نہیں ہو گا #0# کسی بھی حقیقی تعداد کے لئے #ایکس#مطلب ہے کہ ڈومین ہر حقیقی نمبر میں شامل ہے.

رینج کے لئے، اوپر اقدار کو تلاش کرنے کا سب سے آسان طریقہ کچھ بنیادی حساب میں شامل ہے. اگرچہ یہ طویل عرصہ تک ہے، تاہم، ذیل میں اس کے طریقہ کار کے ساتھ، یہ صرف انضمام کا استعمال کرنے کے لئے بھی ممکن ہے.

تقریب کے ساتھ شروع #f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # ہم سب ممکنہ اقدار تلاش کرنا چاہتے ہیں #f (x) #. یہ انوائس تقریب کے ڈومین کو تلاش کرنے کے برابر ہے # f ^ -1 (x) # (پراپرٹی کے ساتھ ایک فنکشن # f ^ -1 (f (x)) = f (f ^ -1 (x)) = 1 #)

بدقسمتی سے #f (x) # اس معاملے میں ایک فنکشن نہیں ہے، کیونکہ یہ 2 اقدار واپس آتی ہے، تاہم، خیال یہ ہے کہ اب بھی وہی ہے. ہم مساوات کے ساتھ شروع کریں گے #y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # اور کے لئے حل کریں #ایکس# پوشیدہ تلاش کرنے کے لئے. اگلا، ہم ممکنہ اقدار کو دیکھیں گے # y # ڈوبنے والے ڈومین کو تلاش کرنے کے لئے، اور اس وجہ سے اصل فنکشن کی حد.

کے لئے حل #ایکس#:

#y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) #

# => y (x ^ 2 + 36) = x + 5 #

# => yx ^ 2 + 36y = x + 5 #

# => yx ^ 2 - x + (36y - 5) = 0 #

علاج کرنا # y # مسلسل طور پر، ہم چوکنا فارمولہ کو لاگو کرتے ہیں

# محور 2 + BX + c = 0 => x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a) #

حاصل کرنے کے لیے

#x = (1 + - sqrt (1 - 4y (36y-5))) / (2y) #

اب ہمیں مندرجہ ذیل اظہار کے ڈومین کو تلاش کرنے کی ضرورت ہے (نوٹ کریں کہ یہ کام کی وجہ سے نہیں ہے #+-#). نوٹ کریں کہ تقسیم کی طرف سے # y # چوکولی فارمولہ میں، ہم نے امکانات کو کھو دیا # y = 0 #، جو اصل مساوات میں واضح طور پر ممکن ہے (کے لئے #x = -5 #). اس طرح ہم ناراضگی کریں گے # y # جغرافیائی حدود میں، اور صرف مربع جڑ پر توجہ مرکوز.

جیسا کہ پہلے ذکر کیا گیا ہے، ہم 0 سے کم سے کم قیمت کی مربع جڑ کی اجازت نہیں دیتے ہیں، اور اسی طرح ہمیں پابندی ہے

# 1 - 4y (36y-5)> = 0 #

# => -144y ^ 2 + 20y + 1> = 0 #

چوکولی فارمولا کا استعمال کرتے ہوئے # -144y ^ 2 + 20y + 1 = 0 # ہم کچھ آسان بنانے کے بعد، تلاش کرتے ہیں،

#y = (5 + -قرآن (61)) / 72 #

آخر میں، ہم اسے بتا سکتے ہیں # | y | # بڑے ہو جاتا ہے، # -144y ^ 2 + 20y + 1 # سے کم ہو جائے گا #0#. اس طرح ہم صرف درمیان کے درمیان وقفے پر غور کرتے ہیں

#y = (5-sqrt (61)) / 72 # اور #y = (5 + sqrt (61)) / 72 #

لہذا اجازت کے لئے اقدار # y #، اور اس طرح کی حد کے لئے #f (x) #ہے

# 5-مربع (61)) / 72، (5 + sqrt (61)) / 72 #