سوال # 53a2b + مثال

جواب:

فاصلے کی اس تعریف میں انوویریٹ کے اندرونی فریم کی تبدیلی کے تحت ہے، اور اس وجہ سے جسمانی معنی ہے.

وضاحت:

Minkowski کی جگہ تعمیر کرنے کے لئے پیرامیٹرز کوآرٹیٹیٹس کے ساتھ 4 جہتی جگہ بنانا ہے # (x_0، x_1، x_2، x_3، x_4) #، جہاں ہم عام طور پر کہتے ہیں # x_0 = CT #. خصوصی تنصیب کی بنیاد پر، ہم Lorentz تبدیلیاں ہیں، جو ایک انڈرالیل فریم سے ایک دوسرے میں تبدیل ہوتی ہیں جو روشنی انوائسٹ کی رفتار کو چھوڑ دیتے ہیں. میں Lorentz تبدیلیوں کے مکمل پریشانی میں نہیں جاؤں گا، اگر آپ چاہتے ہیں کہ مجھے اس کی وضاحت کرنا ہے، تو صرف پوچھیں اور میں مزید تفصیل سے جاسکتا ہوں.

کیا ضروری ہے مندرجہ ذیل ہے. جب ہم ایکلیڈین اسپیس کو دیکھتے ہیں (جس جگہ میں ہم لمبائی کی عام تعریف رکھتے ہیں جو ہم استعمال کرتے ہیں # ds ^ 2 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #)، ہم نے کچھ تبدیلیاں ہیں؛ مقامی گردش، ترجمہ اور آئینے. اگر ہم ان تبدیلیوں سے منسلک مختلف فریم ریفرنس میں دو پوائنٹس کے درمیان فاصلے کا حساب کرتے ہیں، تو ہم ایک ہی فاصلہ کو ڈھونڈتے ہیں. اس کا مطلب ہے کہ اقلیدین فاصلہ ان تبدیلیوں کے تحت انبارٹری ہے.

اب ہم اس تصور کو 4 جہتی spacetime تک توسیع دیتے ہیں. خصوصی استحکام کے آئنسیئن اصول سے پہلے، ہم نے گیلیلی تبدیلیوں کی طرف سے اندرونی فریموں سے منسلک کیا، جس نے صرف ایک مقامی ہم آہنگی کی جگہ لے لی # x_i # کی طرف سے # x_i-v_it # کے لئے #iin {1،2،3} # کہاں # v_i # میں مبصر کی رفتار ہے #میں# اصل فریم سے رشتہ دار. یہ تبدیلی لائبریری انوائسٹ کی رفتار کو نہیں چھوڑا، لیکن اس نے لائن عنصر کی طرف سے حوصلہ افزائی کی # ds ^ 2 = dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #، صرف اس وجہ سے کہ وقت کی ترتیب میں کوئی تبدیلی نہیں ہے، تو وقت مطلق ہے.

تاہم، گیلیلی تبدیلی میں ایک انڈرالیل فریم کو کسی دوسرے کو تبدیل کرنے کے بارے میں درست طریقے سے بیان نہیں کیا جاسکتا ہے، کیونکہ ہم جانتے ہیں کہ رفتار کی رفتار مناسب سمت میں تبدیلی کے تحت تبدیل ہوتی ہے. لہذا ہم نے Lorentz تبدیلی متعارف کرایا ہے. مندرجہ بالا کام کے طور پر 4 کلومیٹر فاصلے تک ایلیڈینڈی فاصلے تک توسیع اس Lorentz تبدیلی کے تحت انبارٹری نہیں ہے، تاہم، فاصلے کی طرف سے حوصلہ افزائی کی جاتی ہے # ds ^ 2 = -xx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 # یہ ہے، جو ہم مناسب فاصلے پر کہتے ہیں. لہذا اگرچہ یہ اقلیدین فاصلہ جہاں پائیگراوراس پریمی کی ڈھانچہ 4 دھیمی جگہ پر مکمل مہذب ریاضیاتی ساخت ہے، اس میں کوئی جسمانی معنی نہیں ہے، کیونکہ یہ مبصر پر منحصر ہے.

مناسب فاصلے پر مبنی پر منحصر نہیں ہے، لہذا ہم اسے جسمانی معنی دے سکتے ہیں، یہ دنیا کی لائن کے ساتھ سفر کرنے والے ایک اعتراض کے ذریعہ منظور شدہ وقت تک اس فاصلہ کا استعمال کرتے ہوئے مینکوسوکی کی جگہ کے ذریعہ دنیا کے آرکینچ کی جگہ سے منسلک کرکے کیا جاتا ہے. نوٹ کریں کہ اگر ہم وقت مقرر ہوجائیں تو، پیتگراورس پریمیم اب بھی مقامی سمت میں موجود ہے.

ایڈیٹر / اضافی وضاحت:

اس سوال کے اصل پوچھتے نے مجھ سے تھوڑی زیادہ وضاحت کرنے سے کہا، "شکریہ." لیکن، آپ براہ کرم گزشتہ دو پارزوں کو تھوڑا سا زیادہ بیان کر سکتے ہیں. # s ^ 2 = x ^ 2- (سی ٹی) ^ 2 #. براہ کرم وضاحت کریں "جوہر ہمارے پاس یہاں موجود ہے جو میں نے اوپر بیان کیا ہے اس کے دو جہتی ورژن ہے. ہمارے پاس ایک وقت اور ایک خلائی طول و عرض کے ساتھ بیان کی وضاحت ہے. اس پر ہم ایک فاصلے کی وضاحت کرتے ہیں، ایک پوائنٹ کی اصل) # s # فارمولا کا استعمال کرتے ہوئے # s ^ 2 = x ^ 2- (سی ٹی) ^ 2 # کہاں #ایکس# مقامی ہم آہنگی اور # t # عارضی تعاون

جو میں نے کیا تھا اس کے تین جہتی ورژن تھا، لیکن میں نے اس سے زیادہ اہمیت کا اظہار کیا # (ڈی ایس) ^ 2 # بجائے # s ^ 2 # (میں نے مربع کیا کیا ہے وضاحت کے لئے قارئین کا اضافہ شامل کیا ہے). فرق جامیاتی کی بہت زیادہ تفصیلات کے بغیر جانے کے بغیر، اگر ہمارے پاس ایک سطر ہے جس میں خلا میں دو پوائنٹس سے منسلک ہو، # ds # لائن کا ایک چھوٹا سا حصہ، ایک نام نہاد لائن عنصر کی لمبائی ہے. میں نے جو کچھ لکھا تھا اس کے 2 ڈی ورژن میں، ہمارے پاس ہے # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 #، جو اس چھوٹے سے ٹکڑے کی لمبائی سے متعلق ہے جس میں ہم آہنگی میں چھوٹے تبدیلیاں ہیں. ایک نقطہ نظر سے نکالنے کی فاصلے کا حساب کرنے کے لئے # x_0 = a، x_1 = b # spacetime میں، ہم اس نقطہ پر اصل سے جا رہے ایک براہ راست لائن کی لمبائی کا حساب، اس لائن کو دیا جاتا ہے # x_0 = a / bx_1 # کہاں # x_1in 0، بی #، ہم یاد رکھیں کہ # dx_0 = a / bdx_1 #، تو # ds ^ 2 = (1-ایک ^ 2 / بی ^ 2) dx_1 ^ 2 #، تو # ds = sqrt (1-ایک ^ 2 / b ^ 2) dx_1 #، جس میں ہم ضم کر سکتے ہیں # s = int_0 ^ bqqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 = bqqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) = sqrt (b ^ 2-a ^ 2) #.

لہذا # s ^ 2 = b ^ 2-a ^ 2 = x_1 ^ 2-x_0 ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 # اندر # (t، x) # ہم آہنگی

لہذا، جو کچھ میں نے اوپر لکھا تھا، اس کتاب میں آپ کو پڑھتا ہے. تاہم قطع عنصر ورژن آپ کو کسی بھی سطر کی لمبائی کا حساب کرنے کی اجازت دیتا ہے، نہ صرف براہ راست لائنیں. Lorentz تبدیلی کے بارے میں کہانی ابھی تک، یہ معیاری ہے # s # انفرادی طور پر ریفرنس کے فریم کے تحت ہے، جبکہ # x ^ 2 + (سی ٹی) ^ 2 # نہیں ہے.

حقیقت یہ ہے کہ پائیگراوراس پریمیم نہیں رکھے گا یہ حیرت انگیز نہیں ہے. پیوگراورس پریمیم ایولائڈن جامیٹری میں رکھتا ہے. اس کا مطلب یہ ہے کہ جس جگہ آپ کام کرتے ہیں وہ فلیٹ ہے. خالی جگہوں کا ایک مثال فلیٹ کی سطح ہے. جب آپ اس سطح پر دو پوائنٹس کے درمیان فاصلہ ڈھونڈنا چاہتے ہیں، تو آپ ان دو پوائنٹس سے منسلک اس سطح پر سب سے مختصر راستے کی لمبائی کرتے ہیں. اگر آپ اس سطح پر صحیح مثلث بنانا چاہتے تھے تو، جسے ایولائڈین اسپیس میں مثلث سے بہت مختلف نظر آئے گا، کیونکہ لائنوں کو براہ راست نہیں ہوگا، پائیگراوراس پرامور عام طور پر نہیں رکھتا.

ایولائڈین جیومیٹری کا ایک اور اہم خصوصا یہ ہے کہ جب آپ اس جگہ پر ہم آہنگی کا نظام بناتے ہیں تو، ہر تعاون کو ایک ہی کردار ادا کرتا ہے. آپ کو محور گھومنے اور ایک ہی جامیہ کے ساتھ ختم کر سکتے ہیں. مندرجہ بالا منکنوکیکی جغرافیہ میں تمام معاہدے کا ایک ہی کردار نہیں ہے، کیونکہ وقت محور مساوات میں مائنس کی علامت ہے اور دیگر نہیں ہیں. اگر یہ مائنس نشست نہیں تھا تو، وقت اور جگہ spacetime میں، یا کم از کم جامیاتی میں ایک ہی کردار پڑے گا. لیکن ہم جانتے ہیں کہ جگہ اور وقت ایک ہی نہیں ہیں.