Phi_n ہونوکونک تسلسل کے مناسب طریقے سے عام طور پر اینٹی توانائی کی توانائی کی اہلیت بنیں، اور پی ایس ایس = hatahata ^ (†) phi_n دو. پی ایس ایس کیا ہے؟

ہنمونک تسلسل ہیملیٹنین پر غور کریں …

#hatH = hatp ^ 2 / (2mu) + 1 / 2muomega ^ 2hatx ^ 2 #

# = 1 / (2mu) (hatp ^ 2 + mu ^ 2omega ^ 2 hatx ^ 2) #

اب، متبادل کی وضاحت کریں:

#hatx "'= = hatxsqrt (muomega) ##' '' '' '##hatp "'= = ٹوپی / sqrt (muomega) #

یہ دیتا ہے:

#hatH = 1 / (2mu) (hatp "'" ^ 2 cdot muomega + mu ^ 2omega ^ 2 (hatx "'" ^ 2) / (muomega)) #

# = اومیگا / 2 (ٹوپ "" "^ 2 + ٹوپی" "" ^ 2) #

اگلا، اس متبادل پر غور کریں جہاں:

#hatx "'' '= (hatx"' ') / sqrt (ℏ) ##' '' '' '##hatp "'' '= (hatp"' ') / sqrt (ℏ) #

تاکہ # "hatx" '' '، hatp "' '" = hatx "' '' hatp '' '' hat hat '' '' '' 'hatx' '' '= i #. یہ دیتا ہے:

#hatH = omega / 2 (hatp "'" "^ 2cdotℏ + hatx"' '"^ 2cdotℏ) #

# = 1/2 پوومگا (ٹوپ "" "" 2 + ٹوپی "" "" "" 2 ") #

چونکہ #hatp "''" "^ 2 # اور #hatx "''" "^ 2 # پیچیدہ conjugates کے ایک مصنوعات میں factored کیا جا سکتا ہے، سیڑھی آپریٹرز کی وضاحت

#hata = (hatx "''" + ihatp "''")) / sqrt2 ##' '' '' '## hata ^ (†) = (ٹوپی "" "" - ihatp "''")) / sqrt2 #

تاکہ:

# hatahata ^ (†) = (hatx "'' '^ 2 - ihatx' '' 'hatp' '' '+ ihatp' '' 'hatx' '' '+ hatp' '' '' '' '' '' '2' ')

# = (ٹوپی "" "" "2 + ٹوپ" "" "" "2") / 2 + (میں hatp "''"، hatx "''")) / 2 #

چونکہ # - hatx "'' '، hatp"' '" = hatp"' ''، hatx '' '' = = i #، صحیح ترین اصطلاح ہے #1/2#. معائنہ کرکے،

#hatH = ℏomega (hatahata ^ (†) - 1/2) #

یہ دکھایا جا سکتا ہے # hata، hata ^ (†) = 1 #، تو

# hatahata ^ (†) - hata ^ (†) hata = 1 #

# => hatahata ^ (†) = 1 + hata ^ (†) hata #

اور تو:

# رنگ (سبز) (hatH = omeomega (hata ^ (†) hata + 1/2)) #

یہاں ہم اس کی شکل کو تسلیم کرتے ہیں توانائی بننا:

#E_n = ℏomega (n + 1/2) #

چونکہ یہ اس شکل سے واضح ہے

#hatHphi_n = Ephi_n #,

ہم صرف اس کے پاس ہیں

# ℏomega (hata ^ (†) hata + 1/2) phi_n = ℏomega (n + 1/2) phi_n #

اس طرح نمبر آپریٹر کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے:

#hatN = hata ^ (†) hata #

جن کی اہلیت کی تعداد کم ہے # n # اس ایگینسٹیٹ کے لئے.

لہذا،

# رنگ (نیلے رنگ) (psi_n = hatahata ^ (†) phi_n) #

# = (1 + hata ^ (†) hata) phi_n #

# = (1 + ٹوپی) phi_n #

# = رنگ (نیلے رنگ) ((1 + ن) phi_n) #