Psi_A (x، 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) توقع کی قدر کی قدر کسی بھی بعد میں ٹی = t_1، phi_n لامحدود ممکنہ طور پر توانائی کی توانائی کی اہلیت ہیں .آئآئ کے لحاظ سے جواب کا جواب دیں؟

ٹھیک ہے، میں حاصل کرتا ہوں # 14 / 5E_1 #… اور آپ کے منتخب کردہ نظام کو دیئے گئے، اس کی شرائط میں دوبارہ بیان نہیں کیا جا سکتا # E_0 #.

اس سوال میں ٹوٹ گئے بہت سے کوانٹم میکانکس قوانین ہیں …

• The # phi_0 #چونکہ ہم لامحدود ممکنہ حل کے ذریعے استعمال کرتے ہیں، خود کار طریقے سے غائب ہوتے ہیں … #n = 0 #، تو #sin (0) = 0 #.

اور سیاحت کے لئے، ہم نے چلو #phi_n (x) = sqrt (2 / L) گناہ ((npix) / L) #…

• یہ ہے ناممکن کے لحاظ سے جواب لکھنے کے لئے # E_0 # کیونکہ #n = 0 # لامحدود صلاحیت کے لئے موجود نہیں ہے. جب تک آپ ذرہ چاہتے ہیں غائب ، میں اسے لازمی طور پر لکھتا ہوں # E_n #, #n = 1، 2، 3،… #…

• توانائی تحریک کی مسلسل ہے، یعنی # (D << E >>) / (dt) = 0 #…

تو اب…

#Psi_A (ایکس، 0) = 1 / sqrt3 sqrt (2 / L) گناہ ((pix / L) + 1 / sqrt2 sqrt (2 / L) گناہ ((2 پیس) / ایل) #

توقع کی قیمت تحریک کی مسلسل ہے، لہذا ہم اس وقت کی پرواہ نہیں کرتے ہیں # t_1 # ہم منتخب کریں. دوسری صورت میں، یہ قدامت پسندی نظام نہیں ہے …

# << ای >> = (<< Psi | hatH | Psi >>) / (<< Psi | Psi >>) = E_n # کچھ کے لئے #n = 1، 2، 3،… #

حقیقت میں، ہم پہلے سے ہی جانتے ہیں کہ یہ کیا ہونا چاہئے، کیونکہ ہیملٹنین ایک جہتی لامحدود صلاحیت کے لئے اچھی طرح سے وقت ازاں ہے …

#hatH = -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) + 0 #

# (delhatH) / (ڈیلٹ = = 0 #

اور # (ای ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) ^ "*" (ای ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) # انکل میں 1 پر جائیں:

# رنگ (نیلے رنگ) (<< ای >>) = (1 / 3int_ (0) ^ (L) Phi_1 ^ "*" (x، t) hatHPhi_1 (x، t) dx + 1 / 2int_ (0) ^ (L) Phi_2 ^ "*" (x، t) hatHPhi_2 (x، t) dx) / (<< Psi | Psi >>) #

ہم کہاں ہیں #Phi_n (x، t) = phi_n (x، 0) e ^ (-iE_nt_http: // ℏ) #. ایک بار پھر، تمام مرحلے کے عوامل کو منسوخ کر دیا گیا، اور ہم نوٹ کریں کہ غیر معمولی شرائط کی وجہ سے آرتھوگونیزی # phi_n #.

ڈینومین کا ایک معنی ہے # Psi #، کونسا

#sum_i | c_i | ^ 2 = (1 / sqrt3) ^ 2 + (1 / sqrt2) ^ 2 = 5/6 #.

لہذا، # << Psi | Psi >> = 5/6 #. یہ دیتا ہے:

# => (1 / sqrt3) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (ایل) گناہ ((pix / L) منسوخ کریں (ای ^ (iE_1t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) گناہ ((pix / L) منسوخ کر دیں (ای ^ (-iE_1t_http: // ℏ)) dx + (1 / sqrt2) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (ایل) گناہ ((2 پیس) / ایل) منسوخ (ای ^ (iE_2t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) گناہ ((2pix) / ایل) منسوخ (ای ^ (-iE_2t_http: // ℏ)) dx / (5 // 6) #

ذیابیطس کا اطلاق کریں:

# = 6/5 1/3 (2 / L) int_ (0) ^ (L) گناہ ((pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot pi ^ 2 / L ^ 2 sin ((pix (/ L) dx + 1/2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) گناہ ((2 پیس) / ایل) ℏ ^ 2 / (2m) cdot (4pi ^ 2) / L ^ 2 گناہ ((2pix) / L) dx #

Constants float:

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) گناہ ((pix) / L) گناہ ((pix) / L (dx + 1/2) 4 4 ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) گناہ ((2 پیس) / ایل) گناہ ((2 پیس) / L) dx #

اور یہ لازمی جسمانی وجوہات کے درمیان آدھے راستے کے لئے جانا جاتا ہے #0# اور # L #، آزاد # n #:

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 #

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) #

# = 6/5 1/3 E_1 + 1/2 4E_1 #

# = رنگ (نیلے رنگ) (14/5 E_1) #

جواب:

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 = 6E_0 #

وضاحت:

ہر سٹیشنری ریاست توانائی کی توانائی سے متعلق ہے # E_n # مرحلے کے عنصر کو اٹھا لیتا ہے #e ^ {- iE_n t} # وقت کے ارتقاء پر. دی گئی ریاست ہے نہیں ایک اسٹیشنری ریاست - چونکہ یہ مختلف eigenvalues سے توانائی eigenstates کے superposition ہے. اس کے نتیجے میں، یہ غیر معمولی انداز میں وقت میں تیار ہو جائے گا. تاہم، Schroedinger مساوات جو ریاستوں کے وقت کی ارتقاء کو کنٹرول کرتی ہے وہ لکیری ہے - تاکہ ہر جزو توانائی کی توانائی سے آزادانہ طور پر تیار ہوجائے. اس کے اپنے مرحلے کا عنصر اٹھا.

لہذا، شروع لہر فنکشن

#psi_A (x، 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) #

وقت میں تیار ہے # t # کرنے کے لئے

#psi_A (x، t) = sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏt} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1) / 2) phi_2 (x) ای ^ {- iE_2 / ℏ t} #

اس طرح، وقت پر توانائی کی توقع کی قدر # t # کی طرف سے دیا جاتا ہے

# <E> = int_-infty ^ infty psi_A ** (x، t) hat {h} psi_A (x، t) dx #

# = int_tefty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {iE_2ℏ t}) ٹوپی {H} (sqrt (1/6) phi_0 (x) ای ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

# = int_-infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 / 2) phi_2 (x) e ^ {iE_2 / ℏ t}) اوقات (sqrt (1/6) E_0phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) E_1phi_1 (x) e ^ { -iE_1 / ℏ ٹی} + sqrt (1/2) E_2phi_2 (x) ای ^ {- iE_2 / ℏ ٹی}) dx #

جہاں ہم نے اس حقیقت کو استعمال کیا ہے کہ #phi_i (x) # توانائی ایجین فینشنز ہیں، اس طرح # ہو {H} phi_i (x) = E_i phi_i (x) #.

یہ ہمیں ابھی تک نو شرائط فراہم کرتا ہے. تاہم، حتمی حساب سے اس حقیقت کی طرف سے بہت آسان کیا جاتا ہے کہ انرجی ایجین فینشنز آرتھو-معمول کے مطابق ہیں، ای. وہ اطاعت کرتے ہیں

# int_-incfty ^ infty phi_i (x) phi_j (x) dx = delta_ {ij} #

اس کا مطلب یہ ہے کہ نو لازمیوں میں سے صرف تین زندہ رہتے ہیں اور ہم حاصل کرتے ہیں

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 #

معیاری نتیجہ کا استعمال کرتے ہوئے #E_n = (ن + 1) ^ 2 E_0 #ہمارے پاس ہے # E_1 = 4E_0 # اور # E_2 = 9E_0 # ایک لامحدود ممکنہ طور پر اچھی طرح سے (آپ ایک اظہار میں زیادہ استعمال کیا جا سکتا ہے جو کہتا ہے #E_n propto n ^ 2 # ایک لامحدود اچھی طرح سے - لیکن ان میں زمین کی حالت لیبل ہے # E_1 # - یہاں ہم اسے لیبلنگ کر رہے ہیں # E_0 # - لہذا تبدیلی). اس طرح

# <ای> = (1/6 بار 1 + 1/3 اوقات 4 + 1/2 اوقات 9) E_0 = 108/18 E_0 = 6E_0 #

نوٹ:

1. اگرچہ انفرادی توانائی ایجین فینشنز مرحلے کے عنصر کو اٹھا کر مجموعی طور پر لہر کی تقریب کو اٹھا کر وقت میں تیار کرتی ہے نہیں کرتا ابتدائی ایک سے صرف ایک مرحلے عنصر کی طرف سے مختلف ہوتی ہے - لہذا یہ اب ایک اسٹیشنری ریاست نہیں ہے.
2. انضمام شامل تھے

   # int_-infty ^ infty psi_i (x) e ^ {+ iE_i / ℏ t} E_j psi_j e ^ {- iej / ℏ t} dx = e_j e ^ {i (Ei-E_j) / ℏt} times int_-infty ^ غیر معمولی پی ایس ایس (x) psi_j (x) dx #

   اور ان کی نظر جیسے وہ وقت پر منحصر ہیں. تاہم، جو صرف زندہ رہنے والے واحد عناصر ہیں وہ زندہ ہیں # i = j # - اور یہ بالکل وہی ہیں جن کے لئے وقت انحصار کو منسوخ کر دیا جاتا ہے.

3. آخری نتائج اس حقیقت کے ساتھ فٹ بیٹھتے ہیں # ہو {H} # محفوظ ہے - اگرچہ ریاست اسٹیشنری ریاست نہیں ہے - توانائی کی توقع کی قدر وقت سے آزاد ہے.
4. اصل لہر کی تقریب پہلے سے ہی معمول کی گئی ہے # (sqrt {1/6}) ^ 2 + (sqrt {1/3}) ^ 2 + (sqrt {1/2}) ^ 2 = 1 # اور یہ معمولی وقت ارتقاء میں محفوظ ہے.
5. اگر ہم نے ایک معیاری کوانٹم میکانی نتیجہ کا استعمال کیا ہے تو ہم بہت سارے کاموں کو کاٹ سکتے تھے - اگر ایک لہر کی تقریب میں فارم میں اضافہ ہوا ہے تو #psi = sum_n c_n phi_n # کہاں ہے # phi_n # ہرمیٹک آپریٹر کی آمدنی کا شکار ہیں #hat {A} #, #hat {A} phi_n = lambda_n phi_n #، پھر # <hat {A}> = sum_n | c_n | ^ 2 lambda_n #، فراہم کی، یقینا ریاستوں کو مناسب طریقے سے معمول بنایا جاتا ہے.