F (x، y) = xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2) کی الٹرا اور سیڈل پوائنٹس کیا ہیں؟

جواب:

#(0,0)# ایک سیڈل پوائنٹ ہے

# (1 / sqrt 2،1 / sqrt 2) # اور # (- 1 / sqrt 2، -1 / sqrt 2) # مقامی ماماما ہیں

# (1 / sqrt 2، -1 / sqrt 2) # اور # (- 1 / sqrt 2،1 / sqrt 2) # مقامی منیما ہیں

# (0، دوپہر 1 / sqrt 2) # اور # (دوپہر 1 / sqrt 2،0) # انفیکشن پوائنٹس ہیں.

وضاحت:

عام کام کے لئے # ایف (x، y) # ایک اسٹیشنری پوائنٹ کے ساتھ # (x_0، y_0) # ہمارے پاس ٹیلر سیریز کی توسیع ہے

# ایف (x_0 + xi، y_0 + eta) = F (x_0، y_0) + 1 / (2!) (F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} eta ^ 2 + 2F_ {xy} xi eta) + ldots #

تقریب کے لئے

#f (x) = x y e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

ہمارے پاس ہے

# (del f) / (del x) = ye ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = y (1-2x ^ 2) ای ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

# (del f) / (del y) = xe ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2y) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x (1-2y ^ 2) ای ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

یہ دیکھنے کے لئے آسان ہے کہ دونوں ڈیویلیوٹس مندرجہ ذیل پیننوں میں غائب ہیں

• #(0,0)#
• # (0، بجے 1 / sqrt2) #
• # (دوپہر 1 / sqrt2، 0) #
• # (دوپہر 1 / sqrt2، بجے 1 / sqrt2) #

ان سٹیشنری پوائنٹس کی نوعیت کی جانچ پڑتال کرنے کے لئے، ہمیں دوسری ڈیوٹیورائٹس کے رویے کو دیکھنے کی ضرورت ہے.

ابھی

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = y (-4x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + y (1-2x ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x y (4x ^ 2-6) ای ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

اور اسی طرح

# (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = xy (4y ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

اور

# (del ^ 2 f) / (del xdel y) = (1-2y ^ 2) ای ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x (1-2y ^ 2) (-2x) ای ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2-2y ^ 2 + 4x ^ 2y ^ 2) ای ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2) (1-2y ^ 2) ای ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

اب تک #(0,0)# ہمارے پاس ہے # (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 0 # اور # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 1 # لہذا

#f (0 + xi، 0 + eta) = f (0،0) + xi eta = xi eta #

اگر آپ پہنچتے ہیں #(0,0)# لائن کے ساتھ # x = y #یہ یہ بن جاتا ہے

#f (0 + xi، 0 + xi) = xi ^ 2 #

اور تو #(0,0)# ظاہر ہے کہ اگر آپ اس سمت سے رابطہ کریں گے. دوسری طرف، اگر آپ لائن کے ساتھ ساتھ جائیں گے # x = آپ # ہمارے پاس ہے

#f (0 + xi، 0-xi) = -xi ^ 2 #

اور تو #(0,0)# اس سمت کے ساتھ زیادہ سے زیادہ ہے،

اس طرح #(0,0)# ایک ھے کاٹھی نقطہ.

کے لئے # (1 / sqrt2،1 / sqrt2) # یہ آسانی سے دیکھا جاتا ہے

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = -2e ^ {- 1/2} <0 # اور # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

جس کا مطلب ہے کہ

#f (1 / sqrt 2 + xi، 1 / sqrt 2 + eta) = f (1 / sqrt 2،1 / sqrt 2) -e ^ {- 1/2 (xi ^ 2 + eta 2)} #

لہذا، فنکشن جس طرح سے آپ منتقل ہو جاتے ہیں کم ہوتی ہے # (1 / sqrt 2،1 / sqrt 2) # اور یہ ایک ہے مقامی زیادہ سے زیادہ. یہ آسانی سے دیکھا جاتا ہے کہ وہی ہی جاتا ہے # (- 1 / sqrt2، -1 / sqrt2) # (یہ واضح ہونا چاہئے، کیونکہ فنکشن اسی تحت ہے # (x، y) سے (-x، -y) #!

پھر، دونوں کے لئے # (1 / sqrt2، -1 / sqrt2) # اور # (- 1 / sqrt2،1 / sqrt2) # ہمارے پاس ہے

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 2e ^ {- 1/2}> 0 # اور # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

لہذا، دونوں نقطہ نظر مقامی منما ہیں.

چار نکات # (0، بجے 1 / sqrt2) # اور # (دوپہر 1 / sqrt2، 0) # زیادہ مشکلات ہیں کیونکہ چونکہ تمام دوسرا حکم ڈیویوٹیوٹک ان پوائنٹس پر غائب ہیں. ہمیں اب اعلی درجے کی ڈیویوٹیوٹک کو دیکھنے کی ضرورت ہے. خوش قسمتی سے، ہم واقعی اس کے لئے بہت مشکل کام کرنے کی ضرورت نہیں ہے - اگلے مشترک پیداوار

# (del ^ 3 f) / (del x ^ 3) = -2y (3-12x ^ 2 + 4x ^ 4) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

جو دونوں کے لئے صفر نہیں ہے # (0، بجے 1 / sqrt2) # اور # (دوپہر 1 / sqrt2، 0) #. اب، اس کا مطلب یہ ہے کہ، مثال کے طور پر

#f (0 + xi، 1 / sqrt 2) = f (0،1 / sqrt 2) +1/3 ((del ^ 3 f) / (del x ^ 3)) _ {(0،1 / sqrt2) } xi ^ 3 + … #

جس سے پتہ چلتا ہے کہ اس سے بڑھ جائے گا # f (0،1 / sqrt 2) # ایک سمت میں، اور دوسرے میں اس سے کم. اس طرح # (0،1 / sqrt2) # انفیکشن کا ایک ** نقطہ ہے. اسی دلیل دوسرے تین نکات کے لئے کام کرتا ہے.