کیا + 3 فارم میں (3 + i) ^ (1/3) برابر ہے؟

جواب:

#root (6) (10) cos (1/3 آرکٹان (1/3)) + جڑ (6) (10) گناہ (1/3 آرکٹان (1/3)) میں #

وضاحت:

# 3 + i = sqrt (10) (cos (alpha) + i sin (alpha)) # کہاں #alpha = آرکٹان (1/3) #

تو

#root (3) (3 + i) = جڑ (3) (sqrt (10)) (کاسم (الفا / 3) + میں گناہ (الفا / 3)) #

# = جڑ (6) (10) (کاسم (1/3 آرکٹان (1/3)) + میں گناہ (1/3 آرکٹان (1/3))) #

# = جڑ (6) (10) کاسم (1/3 آرکٹان (1/3)) + جڑ (6) (10) گناہ (1/3 آرکٹان (1/3)) میں #

چونکہ # 3 + میں # Q1 میں، یہ پرنسپل کیوب جڑ ہے # 3 + میں # Q1 میں بھی ہے.

دو دیگر کیوب جڑیں # 3 + میں # اتحاد کی ابتدائی کمپکیکس کیوب جڑ کا استعمال کرتے ہوئے واضح ہے #omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2 i #:

# مونگا (جڑ (6) (10) کاسم (1/3 آرکٹان (1/3)) + جڑ (6) (10) گناہ (1/3 آرکٹان (1/3)) میں #

# = جڑ (6) (10) کاسم (1/3 آرکٹان (1/3) + (2pi) / 3) + جڑ (6) (10) گناہ (1/3 آرکٹان (1/3) + (2pi) / 3) میں #

# omega ^ 2 (جڑ (6) (10) کاسم (1/3 آرکٹان (1/3)) + جڑ (6) (10) گناہ (1/3 آرکٹان (1/3)) میں #

# = جڑ (6) (10) کاسم (1/3 آرکٹان (1/3) + (4pi) / 3) + جڑ (6) (10) گناہ (1/3 آرکٹان (1/3) + (4pi) / 3) میں #