ای ^ ایکس / ([x] +1) کی حد، x> 0 اور جہاں [x] سب سے بڑا انوج کا اظہار کیا ہے؟

جواب:

#f: (0، + oo) -> (1/2، + oo) #

وضاحت:

میں فرض کر لیتا ہوں #ایکس# اس سے کہیں زیادہ چھوٹا سا مکمل عدد ہے #ایکس#. مندرجہ ذیل جواب میں، ہم اس کا استعمال کریں گے #ceil (x) #چھت کی تقریب کہا جاتا ہے.

چلو #f (x) = e ^ x / (چھت (x) +1) #. چونکہ #ایکس# سے سختی سے بڑا ہے #0#، اس کا مطلب ہے کہ ڈومین # f # ہے # (0، + اوو) #.

جیسا کہ #x> 0 #, #ceil (x)> 1 # اور تب سے # e ^ x # ہمیشہ مثبت ہے، # f # ہمیشہ سختی سے بڑا ہے #0# اس ڈومین میں. نوٹ کرنا ضروری ہے کہ # f # ہے نہیں انفرادی اور قدرتی تعداد میں بھی مسلسل نہیں ہے. اس کو ثابت کرنے کے لئے # n # ایک قدرتی نمبر بنیں:

# R_n = lim_ (x-> n ^ +) f (x) = lim_ (x-> n ^ +) e ^ x / (ceilx + 1) #

کیونکہ #x> n #, #ceil (x) = n + 1 #.

# R_n = e ^ n / (n + 2) #

# L_n = lim_ (x-> n ^ -) f (x) = lim_ (x-> n ^ -) e ^ x / (ceilx + 1) #

اسی طرح، #ceil (x) = n #.

#L_n = e ^ n / (n + 1) #

چونکہ بائیں اور دائیں رخا حدود برابر نہیں ہیں، # f # اساتذہ میں مسلسل نہیں ہے. اس کے علاوہ، #L> R # سب کے لیے # این این این #.

جیسا کہ # f # مثبت انترگروں کی طرف سے بقا کے وقفے میں اضافہ ہوتا ہے، فی وقفہ "سب سے چھوٹی اقدار" کے طور پر ہو جائے گا #ایکس# دائیں طرف سے کم بائیں نقطہ نظر.

لہذا، کی کم سے کم قیمت # f # ہونے جا رہا ہے

# R_0 = lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) ای ^ x / (چھت (x) +1) = ای ^ 0 / (0 + 2) = 1 / 2 #

یہ کی حد کی کم حد ہے # f #.

حالانکہ یہ سچ کہنے کے لئے صحیح نہیں ہے # f # بڑھتی ہوئی ہے، یہ معنوں میں ہے، عدم اطمینان سے، یہ انفینٹی تک پہنچتا ہے- جیسا کہ ذیل میں ثابت ہوا ہے:

#lim_ (x- oo) f (x) = lim_ (x-> oo) e ^ x / (ceil (x) +1) #

جیسا کہ #ceilx> = x #وہاں موجود ہے #delta <1 # اس طرح کہ # ceilx = x + ڈیلٹا #:

# = lim_ (x-> oo) ای ^ x / (x + delta + 1) #

چلو #u = x + delta + 1 => x = u-delta-1 #.

# = lim_ (u-> oo) ای ^ (u-delta-1) / u = lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) #

# e ^ u # تیزی سے بڑھتا ہے # آپ # یہ لکیری طور پر کرتا ہے، مطلب یہ ہے کہ

#lim_ (u- oo) e ^ u u u = oo #

#:. lim_ (u- oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) = oo * 1 / e ^ (delta + 1) = oo #

#:. lim_ (x- oo) f (x) = oo #

لہذا کی حد # f # ہے

# "رینج" = (1/2، oo) #

وقفہ بائیں پر کھلا ہوا ہے کیونکہ #http: // 2 # اب بھی ہے #f (0) #، اور کے طور پر #ایکس# نقطہ نظر #0^+#, #f (x) # صرف نقطہ نظر #http: // 2 #؛ یہ بالکل برابر نہیں ہے.