جواب:
ٹینگین لائن متوازی ہے #ایکس# ڈھال جب ڈھال (اس وجہ سے # dy / dx #) صفر ہے اور یہ متوازی ہے # y # محور جب ڈھال (پھر، # dy / dx #) کو جاتا ہے # oo # یا # -oo #
وضاحت:
ہم تلاش کرکے شروع کریں گے # dy / dx #:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
# d / dx (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = d / dx (7) #
# 2x + 1y + xdy / dx + 2y dy / dx = 0 #
# dy / dx = - (2x + y) / (x + 2y) #
ابھی، # dy / dx = 0 # جب مسٹر ہے #0#، فراہم کی ہے کہ یہ ڈومینٹر بھی نہیں بناتا #0#.
# 2x + y = 0 # کب #y = -2x #
اب ہمارے پاس دو مساوات ہیں:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
#y = -2x #
حل (متبادل کی طرف سے)
# x ^ 2 + x (-2x) + (-2x) ^ 2 = 7 #
# x ^ 2 -2x ^ 2 + 4x ^ 2 = 7 #
# 3x ^ 2 = 7 #
#x = + - sqrt (7/3) = + - sqrt21 / 3 #
استعمال کرنا #y = -2x #، ہم حاصل
وکٹ پر ٹینٹ دو پوائنٹس پر افقی ہے:
# (sqrt21 / 3، - (2 حصر 21) / 3) # اور # (- sqrt21 / 3، (2 قصر 21) / 3) #
(ملاحظہ کریں کہ یہ جوڑی بھی ڈومینٹر نہیں بناتا # dy / dx # کے برابر #0#)
پوائنٹس کو تلاش کرنے کے لئے جس میں ٹینگین عمودی ہے، ڈومینٹر بنائیں # dy / dx # برابر TPO #0# (نمبر نمبر بنانے کے بغیر #0#).
ہم حل کے ذریعے جا سکتے ہیں، لیکن ہم مساوات کی سمتری حاصل کرتے ہیں:
# x = -2y #، تو
#y = + - sqrt21 / 3 #
اور وکر پر پوائنٹس جس میں ٹینٹین عمودی ہے:
# (- 2 قارئین 21) / 3، sqrt21 / 3) # اور # ((2 قارئین 21) / 3، -قدر 21/3) #
ویسے. کیونکہ ہمارے پاس ٹیکنالوجی ہے، یہاں اس گھومنے پلس کی گراف ہے: (یاد رکھیں کہ # + - sqrt21 / 3 + - 1.528 # جسے آپ گراف پر دیکھ سکتے ہیں.)
گراف {x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 -11.3، 11.2، -5.665، 5.585}
جواب:
صرف مڈل سکول ریاضی کا استعمال کرتے ہوئے میں حاصل کرتا ہوں
x محور پر ٹینج متوازی:
# (- sqrt {7/3}، 2sqrt {7/3}) اور (sqrt {7/3}، -2 ایسپرٹ {7/3}) #
ی محوروں کے ساتھ تاروں پر متوازی:
# (- 2sqrt {7/3}، sqrt {7/3}) اور (2sqrt {7/3}، -sqrt {7/3}) #
وضاحت:
میں نے جم کے جواب میں نظر انداز کیا، جو ایک اچھا، معیاری حساب کے علاج کی طرح لگ رہا ہے. لیکن میں مدد نہیں کر سکا لیکن تمام وسطی اسکولوں کے لئے ادھر ادھر ادھر زمین سے باہر گزر رہا تھا جو جغرافیائی منحنی خطوط کے خنجروں کو ڈھونڈنا چاہتا ہے لیکن اب بھی کیلکولیٹس سے سال تک ہیں.
خوش قسمتی سے وہ صرف یہ صرف الجبرا کا استعمال کرتے ہوئے یہ کر سکتے ہیں.
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
یہ پہلی مثال کے لئے تھوڑا پیچیدہ ہوسکتا ہے، لیکن ہم اس کے ساتھ چلتے ہیں. ہم اپنی وکر لکھتے ہیں #f (x، y) = 0 # کہاں
#f (x، y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2-7 #
چلو # (r، s) # ایک نقطہ کے طور پر # f #. ہم تحقیقات کرنا چاہتے ہیں # f # قریب # (r، s) # تو ہم لکھتے ہیں
#f (x، y) = f (r + (x-r)، s + (y-s)) #
# = (r + (x-r)) ^ 2 + (r + (x-r)) (s + (y-s)) + (s + (y-s)) ^ 2-7 #
ہم توسیع کرتے ہیں، لیکن ہم فرق کی شرائط کو بڑھانے نہیں دیتے ہیں # x-r # اور # y-s #. ہم ان کو برقرار رکھنے کے لئے چاہتے ہیں تاکہ ہم کچھ بعد میں ختم کرنے کے ساتھ تجربہ کرسکیں.
#f (x، y) = r ^ 2 + 2r (xr) + (xr) ^ 2 + (rs + s (xr) + r (ys) + (xr) (ys)) + s ^ 2 + 2s ys) + (ys) ^ 2-7 #
# = (r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7) + (2r + s) (xr) + (2s + r) (ys) + (xr) ^ 2 + (ys) ^ 2 + (xr) (ys) #
# = f (r، s) + (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
ہم نے کہا # (r، s) # پر ہے # f # تو #f (r، s) = 0 #.
#f (x، y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
ہم نے ڈگری کی شرائط کو ترتیب دیا، اور ہم قریبی قزاقوں کے ساتھ استعمال کر سکتے ہیں # f # قریب # (r، s) # اعلی ڈگری گرنے سے. یہ خیال کب ہے # (x، y) # قریب ہے # (r، s) # پھر # x-r # اور # y-s # چھوٹے ہیں، اور ان کے چوکوں اور مصنوعات اب بھی چھوٹے ہیں.
چلو صرف قریبی قزاقوں کو پیدا کرتے ہیں # f #. چونکہ # (r، s) # وکر پر ہے، مسلسل تناسب، تمام فرق شرائط کو چھوڑ کر، ہے
# f_0 (x، y) = 0 #
یہ خاص طور پر دلچسپ نہیں ہے، لیکن یہ صحیح طریقے سے ہمیں پوائنٹس کے قریب بتاتا ہے # (r، s) # صفر کے قریب ایک قیمت دے گا # f #.
چلو زیادہ دلچسپی رکھتے ہیں اور لکیری اصطلاحات کو برقرار رکھیں.
# f_1 (x، y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
جب ہم یہ صفر پر مقرر کرتے ہیں، تو ہم سب سے بہتر لینکر سنجیدگی سے حاصل کرتے ہیں # f # قریب # (r، s)، # جو ہے ٹینجنٹ لائن کرنے کے لئے # f # پر # (r، s). # اب ہم کہیں کہیں جا رہے ہیں.
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
ہم دوسرے سنجیدگیوں پر بھی غور کر سکتے ہیں:
# f_2 (x، y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 #
# f_3 (x، y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
یہ اعلی ترتیب ٹینج ہیں، جو کہ کالج کے ریاضی طالب علموں کو کبھی کبھی کبھی نہیں ملتا ہے. ہم پہلے ہی کالج کے حساب سے باہر گئے ہیں.
زیادہ سے زیادہ سنجیدگی سے متعلق ہیں، لیکن مجھے خبردار کیا جا رہا ہے کہ یہ طویل عرصے سے ہو رہا ہے. اب ہم صرف الجربرا میں استعمال کرتے ہوئے کیلوری کو کس طرح سیکھتے ہیں، چلو کرتے ہیں.
ہم اس پوائنٹس کو تلاش کرنا چاہتے ہیں جہاں ٹینجنٹ لائن متوازی ہے #ایکس# محور اور # y # محور
ہم نے اپنے ٹینجنٹ لائن کو تلاش کیا # (r، s) # ہے
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
متوازی #ایکس# محور ایک مساوات کا مطلب ہے #y = متن {مسلسل} #. تو گنوالی #ایکس# صفر ہونا ضروری ہے:
# 2r + s = 0 #
#s = -2r #
# (r، s) # وکر پر ہے #f (r، s) = 0 #:
# r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7 = 0 #
# r ^ 2 + r (-2r) + (-2 ر) ^ 2 - 7 = 0 #
#r = pm sqrt {7/3} #
چونکہ # s = -2r # پوائنٹس ہیں
# (- sqrt {7/3}، 2sqrt {7/3}) اور (sqrt {7/3}، -2 ایسپرٹ {7/3}) #
اسی طرح محور کے متوازی کا مطلب ہے # 2s + r = 0 # جسے مسئلہ کے سمتری کی وجہ سے صرف X اور Y تبدیل کرنا چاہئے. تو دوسری باتیں ہیں
# (- 2sqrt {7/3}، sqrt {7/3}) اور (2sqrt {7/3}، -sqrt {7/3}) #
چیک کریں
کیسے چیک کریں آوفا پلاٹ کرتے ہیں.
پلاٹ x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7، x = -قرآن {7/3}، y = 2 sqrt {7/3}، x = 2sqrt {7/3}، y = -qqq {7/3 }
اچھا لگ رہا ہے. جگر برقی پر منحصر ہے. مڈل اسکول کے لئے بہت اچھا.
