(0، 0، 8) اور (9، 2، 0) کے درمیان فاصلے کیا ہے؟

جواب:

فاصلہ ہے #sqrt (149) #

وضاحت:

دو پوائنٹس کے درمیان فاصلے

# (x_1، y_1، z_1) #

اور

# (x_2، y_2، z_2) #

اندر # آر آر ^ 3 # (تین طول و عرض) کی طرف سے دیا جاتا ہے

# "فاصلہ" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 + (z_2-z_1) ^ 2) #

ہاتھ پر اس مسئلہ کو اپنانے کے، ہم درمیان فاصلہ حاصل کرتے ہیں #(0, 0, 8)# اور #(9, 2, 0)# جیسا کہ

# "فاصلہ" = sqrt ((9-0) ^ 2 + (2-0) ^ 2 + (0-8) ^ 2) = sqrt (81 + 4 + 64) = sqrt (149) #

مندرجہ ذیل ایک وضاحت ہے کہ فاصلہ فارمولہ کہاں سے آتا ہے، اور اوپر کے حل کو سمجھنے کے لئے ضروری نہیں ہے.

مندرجہ ذیل دیئے گئے فاصلے کے فارمولے میں مشکوک طور پر فاصلہ فارمولہ کی طرح لگتا ہے # آر آر ^ 2 # (دو طول و عرض):

# "فاصلہ" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

جو پیتگگورنن پریمیم کی ایک سادہ درخواست سے آتا ہے، اس کے ساتھ دو پوائنٹس کے درمیان صحیح مثلث ڈرائیو کرکے پیروں کے ساتھ متوازی #ایکس# اور # y # محور.

یہ پتہ چلتا ہے، # آر آر ^ 3 # ورژن اسی طرح سے حاصل کیا جا سکتا ہے. اگر ہم دو پوائنٹس سے رابطہ قائم کرنے کے لئے (زیادہ سے زیادہ) 3 لائنوں کا استعمال کرتے ہیں تو، متوازی جا رہے ہیں #ایکس#, # y #، اور # ز # محور، ہم پوائنٹس کے ساتھ ایک باکس کو برعکس کونوں کے طور پر حاصل کرتے ہیں. لہذا، یہ بتائیں کہ ایک باکس کے اخترن میں فاصلے کا حساب کس طرح ہے.

ہم سرخ لائن کی لمبائی کا اندازہ کرنے کی کوشش کر رہے ہیں # رنگ (لال) (AD) #

جیسا کہ اس مثلث کے hypotenuse ہے # ABD #، پیتھگوریان پریمیم سے:

# (رنگ (سرخ) (AD)) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (رنگ (نیلے رنگ) (BC)) ^ 2 #

# => رنگ (سرخ) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (رنگ (نیلے رنگ) (BC)) ^ 2) "(i)" #

بدقسمتی سے، ہمارے پاس لمبائی نہیں ہے # رنگ (نیلے رنگ) (بی ڈی) # جیسا کہ دیا گیا ہے. اسے حاصل کرنے کے لئے، ہمیں پھر سے پائیگگوران پریمیم لاگو کرنا ہوگا، مثلا اس مثلث کو # بی سی سی #.

# (رنگ (نیلے رنگ) (BD)) ^ 2 = (BC) ^ 2 + (سی ڈی) ^ 2 "(ii)" #

جیسا کہ ہم صرف مربع کی ضرورت ہے # رنگ (نیلے رنگ) (بی ڈی) #، اب ہم متبادل کرسکتے ہیں # ("ii") # میں #("میں")#:

# رنگ (سرخ) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (BC) ^ 2 + (سی ڈی) ^ 2) #

آخر میں، اگر ہمارے پاس ہے # A # پر # (x_1، y_1، z_1) # اور # D # پر # (x_2، y_2، z_2) #، پھر ہمارے پاس لمبائی ہے

#CD = | x_2 - x_1 | #

# بی بی = | y_2 - y_1 | #

#AB = | z_2 - z_1 | #

مندرجہ بالا میں ان کو تبدیل کرنا ہمیں مطلوب نتیجہ فراہم کرتا ہے.

ایک اضافی نوٹ کے طور پر، جب ہم 3 طول و عرض میں صرف ہم آہنگی ثبوتوں کو آسانی سے کرسکتے ہیں تو، ریاضی دانوں نے عام طور پر فاصلے پر قبضہ کرلیا ہے. # RR ^ n # (# n # طول و عرض). درمیان فاصلہ

# (x_1، x_2، …، x_n) # اور # (y_1، y_2، …، y_n) # جیسا کہ بیان کیا گیا ہے

#sqrt (sum_ (k = 1) ^ n (y_k - x_k) ^ 2) #

جس سے پیٹرن سے ملتا ہے # آر آر ^ 2 # اور # آر آر ^ 3 #.