جب آپ علاقے کو تلاش کرنے کے لئے ہیرو کا فارمولہ استعمال کرتے ہیں؟

جب آپ کسی مثلث کے تین اطراف کی لمبائی جانتے ہیں تو آپ اسے استعمال کرسکتے ہیں.

مجھے امید ہے کہ یہ مددگار تھا.

جواب:

ہیرو کی فارمولہ تقریبا ہمیشہ غلط فارمولہ استعمال کرنے کے لئے ہے؛ علاقے کے ساتھ ایک مثلث کے لئے آرکییمڈس 'پریمیم کی کوشش کریں # A # اور اطراف # a، b، c #:

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (ایک ^ 2 + بی ^ 2 - سی ^ 2) ^ 2 #

#quad = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

#quad = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# quad = 16s (s-a) (s-b) (s-c) # کہاں # s = 1/2 (a + b + c) #

یہ آخری پتلی چھڑی ہوئی ہے.

وضاحت:

اسکندریہ کے ہیرو نے پہلی صدی عیسائی میں لکھا. جب ہم اس کے نتیجے میں طالب علموں کو تشدد کے سلسلے میں جاری رکھیں گے تو مجھے بہتر خیال نہیں ہے کہ جدید جدید مساوات موجود ہیں.

علاقے کے لئے ہیرو کا فارمولہ # A # اطراف کے ساتھ مثلث کا # a، b، c # ہے

# A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # کہاں # s = 1/2 (a + b + c) # سیمیومیمٹر ہے.

اس میں کوئی شک نہیں ہے کہ یہ فارمولہ بہت اچھا ہے. لیکن حصوں کی وجہ سے یہ استعمال کرنے کے لئے عجیب ہے اور، اگر ہم ہم آہنگی، چار مربع جڑیں شروع کرتے ہیں.

چلو صرف ریاضی کرتے ہیں. ہم چوکتے ہیں اور ختم کرتے ہیں # s # جس میں زیادہ سے زیادہ ایک کو چھپانے کے لئے کام کرتا ہے #16# اور ایک اہم عنصر. آپ شاید خود اپنے آپ کو کوشش کرنا چاہتے ہیں.

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (a + b + c) -a) (1/2 (a + b + c) -b) (1/2) a + b + c) -c) #

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (-a + b + c)) (1/2 (a-b + c)) (1/2 / a + bc)) #

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

یہ ہیرو کی شکل سے زیادہ بہتر ہے. ہم حصوں کو اختتام تک بچاتے ہیں اور سیمیپیریمٹر کے معنی کے بارے میں مزید سوچ نہیں رکھتے ہیں.

اپ ڈیٹور کیس کہہ رہا ہے. جب مائنس کی علامت کے ساتھ ان عوامل میں سے ایک صفر ہے، تو جب دونوں طرف بالکل دوسری طرف شامل ہوتے ہیں. وہ تین کالر پوائنٹس کے درمیان فاصلے ہیں، پسماندہ مثلث، اور ہم صفر علاقے حاصل کرتے ہیں. سمجھ میں آتا ہے.

The # a + b + c # عنصر دلچسپ ہے. یہ ہمیں کیا بتاتا ہے کیا یہ فارمولہ اب بھی کام کرتا ہے اگر ہم بے گھر افراد کو استعمال کرتے ہیں، تمام مثبتوں کے بجائے دستخط شدہ لمبائی.

دیئے گئے سمتوں کو استعمال کرنے کے لئے فارمولہ اب بھی عجیب ہے. آئیے اسے ضرب کر دیں. آپ شاید اپنے آپ کو کوشش کرنا چاہتے ہیں؛

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# = (-a ^ 2-ab-ac + ab + b ^ 2 + bc + ac + bc + c ^ 2) (a ^ 2-ab + ac + ab-b ^ 2 + bc -ac + bc-c ^ 2) #

# = (-ا ^ 2 + بی ^ 2 + سی ^ 2 + 2 بی سی) (ایک ^ 2 - بی ^ 2-سی ^ 2 + 2 بی سی) #

# = (-ا ^ 2 + بی ^ 2 + سی ^ 2 + 2 بی سی) (ایک ^ 2 - بی ^ 2-سی ^ 2 + 2 بی سی) #

# 16 اے ^ 2 = 2 (ایک ^ 2 ب ^ 2 + ایک ^ 2 سی ^ 2 + بی ^ 2 سی ^ 2) - (ایک ^ 4 + بی ^ 4 + سی ^ 4) #

یہ فارم لمبائی کے چوکوں پر صرف انحصار کرتا ہے. یہ واضح طور پر مکمل سمت ہے. ہم اب ہیرو سے باہر جا سکتے ہیں اور کہیں گے مربع لمبائی عقیدہ ہیں، تو اس طرح کا مربع علاقہ ہے.

لیکن اگر ہم نوٹ کریں تو ہم بہتر کر سکتے ہیں

# (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) +2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

ذلت،

# 16A ^ 2 = (ایک ^ 2 + بی ^ 2 + سی ^ 2) ^ 2 - 2 (ایک ^ 4 + بی ^ 4 + سی ^ 4) #

یہ سب سے خوبصورت شکل ہے.

عام طور پر سب سے زیادہ مفید ہے کہ ایک غیر معمولی تلاش فارم ہے. ہم نوٹ کرتے ہیں

# (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) -2 (-a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

اس میں شامل کرنا

# 16 اے ^ 2 = 2 (ایک ^ 2 ب ^ 2 + ایک ^ 2 سی ^ 2 + بی ^ 2 سی ^ 2) - (ایک ^ 4 + بی ^ 4 + سی ^ 4) #

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (ایک ^ 2 + بی ^ 2 - سی ^ 2) ^ 2 #

یہ سب سے زیادہ مفید فارم ہے. واقعی لکھنے کے تین طریقے ہیں، گھیرنے والے اطراف.

مجموعی طور پر ان کو آرکییمڈس 'پروم' کہا جاتا ہے جو NJ وائلبربرر کی منطقی ٹرائیومیٹریٹری سے ہے.

جب 2 ڈی کو کونسل بنایا جاتا ہے تو، اکثر شیللیس فارمولا علاقے میں تیز ترین راستہ ہے، لیکن میں اسے دوسری پوزیشنوں کے لۓ محفوظ کروں گا.