آپ حصوں کے طریقہ کار کی طرف سے انضمام کے ذریعہ int سیکنڈ -1 -1x کو کیسے مربوط کرتے ہیں؟

جواب:

جواب ہے # = x "آرک" سیکسی-ایل این (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

وضاحت:

ہمیں ضرورت ہے

# (سیکنڈ ^ -1x) '= ("آرک" سیکسی)' = 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

# intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) #

حصوں کی انضمام ہے

# intu'v = UV-intuv '#

یہاں، ہمارے پاس ہے

# u '= 1 #, #=>#, # u = x #

# v = "آرک" سیکسی #, #=>#, # v '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

لہذا،

#int "آرک" secxdx = x "آرک" سیکسی-ان (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) #

متبادل کی طرف سے دوسرا انضمام انجام دیں

چلو # x = secu #, #=>#, # dx = secutanudu #

#sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (سیکنڈ ^ 2u-1) = تنیو #

# intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu) / (tanu) = intsecudu #

# = int (secu (secu + tanu) دو) / (secu + tanu) #

# = int ((سیکنڈ ^ 2u + secutanu) دو) / (secu + tanu) #

چلو # v = secu + tanu #, #=>#, # dv = (sec ^ 2u + secutanu) دو #

تو،

# intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (dv) / (v) = lnv #

# = ln (secu + tanu) #

# = ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) #

آخر میں،

#int "آرک" secxdx = x "آرک" سیکسی - ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

جواب:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

وضاحت:

متبادل طور پر، ہم انوائس افعال کے ضمنی کاموں کے لئے ایک چھوٹا سا معتدل فارمولہ استعمال کرسکتے ہیں. فارمولہ بیان کرتا ہے:

#int f ^ -1 (x) dx = xf ^ -1 (x) -F (f ^ -1 (x)) + C #

کہاں # f ^ -1 (x) # جھوٹ ہے #f (x) # اور # ایف (ایکس) # ضد کی ضد ہے #f (x) #.

ہمارے معاملے میں، ہم حاصل کرتے ہیں:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -F (sec ^ -1 (x)) + C #

اب ہم سب کو کام کرنے کی ضرورت ہے ضد ضد ہے # F #، جو واقف سیکنڈٹ لازمی ہے:

#int sec (x) dx = ln | sec (x) + tan (x) | + C #

فارمولہ میں اس کا پچھلا لگانا ہمارے حتمی جواب دیتا ہے:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln | sec (sec ^ -1 (x)) + tan (sec ^ -1 (x)) | + C #

ہمیں آسان بنانے کے بارے میں محتاط رہنا ہوگا #tan (سیکنڈ ^ -1 (x)) # کرنے کے لئے #sqrt (x ^ 2-1) # کیونکہ شناخت صرف درست ہے #ایکس# مثبت ہے. تاہم ہم خوش قسمت ہیں کیونکہ ہم لاگت کے اندر دوسرے اصطلاح پر مطلق قدر ڈال کر اس کو ٹھیک کر سکتے ہیں. یہ پہلی مطلق قدر کی ضرورت کو بھی ہٹا دیتا ہے، کیونکہ علامات کے اندر سب کچھ ہمیشہ مثبت ہوگا:

# xsec ^ -1 (x) -Ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #