آپ کو ایک پیچیدہ نمبر کے ٹگونومیٹرک فارم کیوں تلاش کرنے کی ضرورت ہے؟

آپ کی پیچیدہ تعداد کے ساتھ کیا کرنے کی ضرورت پر منحصر ہے، trigonometric فارم بہت مفید یا بہت سینگ ہو سکتا ہے.

مثال کے طور پر، دو # ز_1 = 1 + میں #, # z_2 = sqrt (3) + i # اور # z_3 = -1 + i sqrt {3} #.

چلو دو ٹرمونومیٹرک شکلیں بیان کرتے ہیں:

# theta_1 = آرکٹان (1) = pi / 4 # اور # rho_1 = sqrt {1 + 1} = sqrt {2} #

# theta_2 = آرکٹان (1 / sqrt {3}) = pi / 6 # اور # rho_2 = sqrt {3 + 1} = 2 #

# theta_3 = pi + arctan (-sqrt {3}) = 2/3 pi # اور # rho_3 = sqrt {1 + 3} = 2 #

تو trigonometric فارم ہیں:

# z_1 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) #

# z_2 = 2 (کاؤنٹی (پائپ / 6) + میں گناہ (پی / 6)) #

# z_3 = 2 (کاسم (2/3 پیو) + میں گناہ (2/3 پیو)) #

اضافہ

آتے ہیں کہ آپ کو مطمئن کرنا چاہتے ہیں # z_1 + z_2 + z_3 #. اگر آپ جغرافیائی شکل استعمال کرتے ہیں تو آپ حاصل کرتے ہیں

# z_1 + z_2 + z_3 = (1 + i) + (sqrt {3} + i) + (-1 + sq sq {3}) = sqrt {3} + i (2 + sqrt {3}) #

بہت آسان. اب trigonometric فارم کے ساتھ کوشش کریں …

# z_1 + z_2 + z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) + 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) + 2 (cos (2/3 پیو) + میں گناہ (2/3 پیو)) #

یہ پتہ چلتا ہے کہ ان دو اظہارات کو کم کرنے کا سب سے چھوٹا طریقہ یہ ہے کہ کاسمینز اور سککوں کو حل کرنا، جس کا مطلب ہے کہ … جغرافیائی شکل بدلنے کے لئے!

جغرافیائی شکل اکثر پیچیدہ نمبروں کو شامل کرنے میں منتخب کرنے کے لئے بہترین شکل ہے.

ضرب

اب ہم ایک دوسرے کو متحرک کرنے کی کوشش کرتے ہیں # z_1 * z_2 * z_3 #. جغرافیائی شکلوں کا استعمال کرتے ہوئے بہت پریشان کن computations کی ضرورت ہے. لیکن trigonometric فارم کے ساتھ اس کی مصنوعات کو حل آسان ہے:

# z_1 * z_2 * z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) * 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) * 2 (cos) 2/3 پیو) + میں گناہ (2/3 پی پی)) = 4 چوٹرو {2} (کاس (پی پی / 4 + پی / 6 + 2/3 پائپ) + میں گناہ (پی / 4 + پی / 6 + 2) / 3 پی)) = 4 sqrt {2} (کاس (13/12 پی پی) + میں گناہ (13/12 پی پی)) #

اس بات کو ثابت کرنے کے اجزاء کہ دوسرا مساوات trigonometry سے آتی ہے: دو اس کے علاوہ فارمولا

# عین (الفا + بیٹا) = گناہ (الفا) کاسم (بیٹا) + گناہ (بیٹا) کاسم (الفا) #

#cos (الفا + بیٹا) = کاسم (الفا) کاسم (بیٹا) -ن (الفا) گناہ (بیٹا) #

متوقع فارم میں پیچیدہ نمبروں کے ضوابط کو کلینر (لیکن تصوراتی طور پر آسان نہیں) ہے.

کچھ معنوں میں، بیجونومیٹکک فارم جغرافیائی اور ممکنہ شکلوں کے درمیان ایک قسم کے درمیان ہے. trigonometric فارم ان دونوں کے درمیان سوئچ کا راستہ ہے. اس معنی میں یہ "لغت" کی شکل میں "لغت" کی ایک قسم ہے.