آپ کو آسیسیسن ایکس + آرکاس ایکس = pi / 2 کیسے ثابت ہوتا ہے؟

جواب:

جیسے دکھایا گیا ہے

وضاحت:

چلو

# arcsinx = theta #

پھر

# x = sintheta = cos (pi / 2 -tata) #

# => ارکوسکس = pi / 2-theta = pi / 2-arcsinx #

# => آرکاسکس = pi / 2-arcsinx #

# => آرکیسینکس + آرکیسکس = pi / 2 #

جواب:

بیان یہ ہے کہ جب منحصر ٹرک افعال پرنسپل اقدار کا حوالہ دیتے ہیں، لیکن دوسرے جوابات کے مقابلے میں ظاہر کرنے کے لئے اس سے زیادہ محتاط توجہ کی ضرورت ہوتی ہے.

جب انڈر ٹرک افعال کو کثیر مقصود سمجھا جاتا ہے تو، مثال کے طور پر، ہمیں زیادہ بہتر نتیجہ ملتا ہے

#x = گناہ ({3 پی پی} / 4) = کاؤنٹی (پی پی / 4) = 1 / sqrt {2} کواڈ # لیکن #quad {3pi} / 4 + pi / 4 = pi. #

ہمیں حاصل کرنے کے لئے کم کرنا ہے # pi / 2 #.

وضاحت:

ایسا لگتا ہے کہ یہ ایک مشکل ہے. دوسرا جواب یہ مناسب احترام نہیں کرتا.

ایک عام کنونشن چھوٹا خط استعمال کرنا ہے #arccos (x) # اور #arcsin (x) # جیسا کہ کثیر تعصب اظہار، ہر ایک بالترتیب ہر اقدار کی نشاندہی کرتا ہے جن کا کاسمین یا سنک ایک قدر قیمت ہے #ایکس#.

ان لوگوں کی رقم کا مطلب واقعی ہر ممنوع مجموعہ ہے، اور وہ ہمیشہ نہیں دیتے # pi / 2. # وہ ہمیشہ کنفرمینٹ زاویہ میں سے ایک نہیں دیں گے # pi / 2 + 2pi k کواڈ # اشارہ # k #، جیسا کہ ہم اب دکھائیں گے.

آتے ہیں کہ یہ کیسے ملتا ہے کہ یہ کس طرح کام کرتا ہے. عام طور پر یاد رکھیں # cos x = cos # حل ہے # x = بجے ایک + 2pi ک کواڈ # اشارہ # k #.

# c = arccos x # واقعی کا مطلب ہے

#x = cos c #

#s = arcsin x # واقعی کا مطلب ہے

#x = گناہ s #

#y = s + c #

#ایکس# ایک حقیقی پیرامیٹر کا کردار ادا کر رہا ہے جو سے چھڑاتا ہے #-1# کرنے کے لئے #1#. ہم کے لئے حل کرنا چاہتے ہیں # y #، کے تمام ممکنہ اقدار کو تلاش کریں # y # جس میں ایک ہے #x، s # اور # c # یہ ان بیک وقت مساوات بناتا ہے #x = کوکی سی، ایکس = گناہ s، y = s + c # سچ.

#sin s = x = cos c #

#cos (pi / 2 ss) = cos c #

ہم کوسٹینز کی مساوات کے بارے میں ہمارے اوپر عام حل کا استعمال کرتے ہیں.

# pi / 2 - s = pm c + 2pi k کواڈ # اشارہ # k #

# s pm c = pi / 2 - 2pi k #

لہذا ہم بہت زیادہ نیبلا نتیجہ حاصل کرتے ہیں،

#arcsin x pm arcsin c = pi / 2 + 2pi k #

(اس پر دستخط کرنے کی اجازت ہے # ک. #)

آئیے پرنسپل اقدار پر اب توجہ مرکوز کریں، جو میں دارالحکومت خطوط سے لکھتا ہوں.

دکھائیں #text {آرک} ٹیکسٹ {گناہ} (x) + متن {آرک} متن {cos} (x) = pi / 2 #

بیان اصل میں معمول کے مطابق بنیادی اصولوں کے لئے سچ ہے.

رقم صرف اس کی وضاحت کی جاتی ہے (جب تک ہم پیچیدہ نمبروں میں بہت گہری ہو) کے لئے # -1 LE X LE 1 # کیونکہ اس کی حد میں درست ساکوں اور کاسمینز موجود ہیں.

ہم برابر کے ہر طرف دیکھیں گے

# متن {آرک} متن {cos} (x) stackrel {؟} {=} pi / 2 - text {آرک} متن {گناہ} (x) #

ہم دونوں طرفوں کا کاسمین لے لیں گے.

#cos (متن {آرک} متن {cos} (x)) = x #

#cos (pi / 2 - text {آرک} متن {گناہ} (x)) = گناہ (متن {آرک} متن {گناہ} (x)) = x #

لہذا نشانیاں یا پرنسپل اقدار کے بارے میں تشویش کے بغیر ہمیں یقین ہے

#cos (متن {آرک} متن {cos} (x)) = cos (pi / 2 - text {آرک} متن {گناہ} (x)) #

مشکل حصہ، جس کا احترام احترام ہے وہ اگلے قدم ہے:

#text {آرک} ٹیکسٹ {کاؤنٹی} (x) = pi / 2 - متن {آرک} متن {گناہ} (x) کواڈ # YET محفوظ نہیں ہے

ہمیں احتیاط سے چلنا ہوگا. آتے ہیں مثبت اور منفی #ایکس# الگ الگ.

پہلا # 0 LE X LE 1 #. اس کا مطلب یہ ہے کہ دونوں ٹریگ ٹرک افعال کے پرنسپل اقدار سب سے پہلے چکر میں ہیں #0# اور # pi / 2. # پہلے کواڈرنٹ میں رکاوٹ، مسابقتی کاسمینز برابر زاویہ لگاتا ہے، لہذا ہم اس کے لئے نتیجہ اخذ کرتے ہیں #x جے 0، #

#text {آرک} ٹیکسٹ {کاؤنٹی} (x) = pi / 2 - متن {آرک} متن {گناہ} (x) کواڈ #

ابھی # -1 لی ایکس <0. # انوائس علامت کے پرنسپل قیمت چوتھے کواڈرنٹ میں ہے، اور کے لئے #x <0 # ہم عام طور پر رینج میں پرنسپل قیمت کی وضاحت کرتے ہیں

# - pi / 2 لی متن {آرک} متن {گناہ} (x) <0 #

# pi / 2 ge - text {آرک} متن {گناہ} (x)> 0 #

#pi جی پی پی / 2 - متن {آرک} متن {گناہ} (x)> pi / 2 #

# pi / 2 <pi / 2 - متن {آرک} متن {گناہ} (x) LE pi #

منفی انوائس کاسمین کے لئے پرنسپل قیمت دوسرا چراغ ہے،

# pi / 2 <متن {آرک} متن {cos} (x) le pi #

تو ہمارے پاس دوسرا چکنائی میں دو زاویہ ہیں جن کے کوکیز برابر ہیں، اور ہم یہ نتیجہ نکال سکتے ہیں کہ زاویہ برابر ہے. کے لئے #x <0 #, #text {آرک} ٹیکسٹ {کاؤنٹی} (x) = pi / 2 - متن {آرک} متن {گناہ} (x) کواڈ #

تو پھر بھی،

# متن {آرک} متن {گناہ} (x) + ٹیکسٹ {آرک} متن {کاؤنٹر} (x) = pi / 2 کواڈ چوک #