378 ڈویژنز کے ساتھ ن کا سب سے چھوٹا سا مکمل انفرادی ہونا. اگر N = 2 ^ ایک XX 3 ^ B XX 5 ^ سی XX 7 ^ D، NN میں {a، b، c، d} کی قدر کیا ہے؟

جواب:

# (ایک، بی، سی، ڈی) = (6، 5، 2، 2) #

#N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19،051،200 #

وضاحت:

ایک نمبر کو دیا # n # اہم عنصر کے ساتھ #n = p_1 ^ (الفا_1) p_2 ^ (الفا_2) … p_k ^ (alpha_k) #، ہر ڈویژن # n # فارم کا ہے # p_1 ^ (beta_1) p_2 ^ (beta_2) … p_k ^ (beta_k) # کہاں #beta_i {0، 1، …، alpha_i} #. جیسا کہ ہیں # alpha_i + 1 # ہر ایک کے لئے انتخاب # beta_i #، ڈویژنوں کی تعداد # n # کی طرف سے دیا جاتا ہے

# (alpha_1 + 1) (alpha_2 + 1) … (alpha_k + 1) = prod_ (i = 1) ^ k (alpha_i + 1) #

جیسا کہ # ن = 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #، ڈویژنوں کی تعداد # ن # کی طرف سے دیا جاتا ہے # (a + 1) (b + 1) (c + 1) (d + 1) = 378 #. اس طرح، ہمارا مقصد تلاش کرنا ہے #(اے، بی، سی، ڈی)# اس طرح کے اوپر کی مصنوعات کی ڈگری حاصل کی جاتی ہے # 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d # کم سے کم ہے. جیسا کہ ہم کم سے کم ہوتے ہیں، ہم اس نقطہ اس کے بعد آگے بڑھیں گے #a> = b> = c> = d # (اگر یہ معاملہ نہیں تھا تو، ہم اساتذہ کو ایک ہی تعداد میں تقسیم کرنے کے لۓ کم نتائج حاصل کرسکتے ہیں).

اس کا ذکر # 378 = 2xx3 ^ 3xx7 #، ہم ممکنہ معاملات پر غور کر سکتے ہیں #378# چار انتروں کی مصنوعات کے طور پر لکھا جاتا ہے # k_1، k_2، k_3، k_4 #. ہم ان کا معائنہ کر سکتے ہیں کہ کم از کم نتیجہ کس طرح پیدا ہوتا ہے # ن #.

شکل: # (k_1، k_2، k_3، k_4) => (a، b، c، d) => 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #

# (2، 3، 3 ^ 2، 7) => (8، 6، 2، 1) => ~ 3.3xx10 ^ 7 #

# (2، 3، 3، 3 * 7) => (20، 2، 2، 1) => ~ 1.7xx10 ^ 9 #

# رنگ (سرخ) ((3، 3، 2 * 3، 7) => (6، 5، 2، 2) => ~ 1.9xx10 ^ 7) #

# (3، 3، 3، 2 * 7) => (13، 2، 2، 2) => ~ 9.0xx10 ^ 7 #

# (1، 3، 2 * 3 ^ 2، 7) => (17، 6، 2، 0) => ~ 2.4xx10 ^ 9 #

ہم یہاں روک سکتے ہیں، کیونکہ کسی اور معاملے میں کچھ ہو گا #k_i> = 27 #، دینا # 2 ^ ایک> = 2 ^ 26 6.771010 ^ 7 #، جو پہلے سے ہی ہمارے بہترین کیس سے زیادہ ہے.

مندرجہ بالا کام کے بعد، پھر #(اے، بی، سی، ڈی)# جس میں کم سے کم پیدا ہوتا ہے # ن # کے ساتھ #378# تقسیم ہے # (ایک، بی، سی، ڈی) = (6، 5، 2، 2) #، دینا #N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19،051،200 #