تمام پیچیدہ تعداد کو trigonometric شکل میں تبدیل کریں اور پھر اظہار کو آسان بنانا؟ معیاری شکل میں جواب لکھیں.

جواب:

# {(2 + 2i) ^ 5 (-قرآن {3} + i) ^ 3} / (sqrt {3} + i) ^ 10 #

# = (sqrt {3} -1) / 2 + (sqrt {3} +1) / 2 i #

وضاحت:

اس سوال کے دوسرے جواب میں میرا اندازہ لگایا گیا کہ اس سوال میں ایک ٹائپو اور یہ تھا #-3# ہونا تھا # -قرآن {3} #. مجھے ایک تبصرہ میں یقین دہانی ہوئی ہے کہ یہ معاملہ نہیں ہے، سوال یہ ہے کہ لکھا درست ہے.

میں یہ نہیں کہوں گا کہ ہم کس طرح طے شدہ ہیں

# 2+ 2i = 2 sqrt {2} متن {سیس} 45 ^ سر #

# sqrt {3} + i = 2 متن {سیس} 30 ^ سر #

لیکن اب ہمیں تبدیل کرنا ہوگا # -3 + میں # ٹگونومیٹرک فارم پر. ہم یہ کر سکتے ہیں، لیکن چونکہ یہ Trig کی ترجیحی مثلثوں میں سے ایک نہیں ہے، یہ تھوڑا سا عجیب ہے.

# | -3 + میں | = sqrt {3 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {10} #

ہم دوسرے کواڈرنٹینٹ میں ہیں اور انوائس ٹنگنٹ کی پرنسپل قیمت چوتھی کواڈرنٹ ہے.

# زاویہ (-3 + i) = متن {آرک} متن {ٹین} (1 / {3 3}) + 180 ^ سر #

# -3 + i = sqrt {10} متن cis} (متن {آرک} متن {ٹین} (1 / {3 3}) + 180 ^ سر) #

De Moivre اس طرح کی شکل پر بہت اچھی طرح سے کام نہیں کرتا، ہم حاصل کرتے ہیں

# (-3 + i) ^ 3 = sqrt {10 ^ 3} متن {سیس} (3 (متن {آرک} ٹیکسٹ {ٹین} (1 / {3 3}) + 180 ^ سر) #

لیکن ہم پھنس نہیں رہے ہیں. چونکہ صرف ایک ہی حصہ ہے #3# ہم یہ ٹرپل زاویہ کے فارمولا کے ساتھ کر سکتے ہیں. چلو مسلسل زاویہ ہمیں پکارتے ہیں

#theta = زاویہ (-3 + i) #

De Moivre کی طرف سے،

# (-3 + i) ^ 3 = (sqrt {10} متن cis} theta) ^ 3 = 10sqrt {10} (cos (3theta) + i sin (3 theta)) #

ہم جانتے ہیں

# کاؤنٹا = 3 / sqrt {10}، کوئڈ گناہ تھیٹا = 1 / sqrt {10} #

#cos (3 تھیٹا) = 4 کاک ^ 3 تھیٹا - 3 کاؤنٹا = 4 (3 / sqrt {10}) ^ 3 - 3 (- 3 / sqrt {10}) = - (9 sqrt (10)) / 50 #

# 4 (1 / sqrt {10}) - 3 = (13 sqrt (10)) / 50 # # 3 (3 تھیٹا) = 3 گناہ تھیٹا - 4 گناہ ^ 3 تھیٹا = 3 (1 / sqrt {10}) - 4 (1 / sqrt {10})

# (-3 + i) ^ 3 = 10sqrt {10} (sqrt {10} / 50) (-9 + 13 i) = -18 +26 i #

ایسا لگتا ہے جیسے کیوبنگ سے کہیں زیادہ کام # (- 3 + میں): #

# (-3 + i) (- 3 + i) (- 3 + i) = (3 + i) (8 -6i) = -18 + 26

ٹھیک ہے، ہم یہ مسئلہ کرتے ہیں:

# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i) ^ {10}} #

# = {(2 sqrt {2} ٹیکسٹ {سیس} 45 ^ سر) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(2 متن {سیس} 30 ^ سر) ^ {10} } #

# = ({2 ^ 5 sqrt {2 ^ 5}} / 2 ^ 10) { متن {سیس} (5 cdot 45 ^ سر)} / { متن {سیس} (10 cdot 30 ^ سر)} (- 3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) { متن {سیس} (225 ^ سر)} / {متن (سی سی) (300 ^ سر)} (-3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) متن {سیس} (225 ^ سر 300) (-3 -3 میں) ^ 3 #

# = (چوڑائی {2} / 8) (-18 +26 میں) متن {سیس} (- 75 ^ سر) #

Ugh، یہ کبھی نہیں ختم ہوتا ہے. ہم حاصل

#cos (-75 ^ سر) = کاس 75 ^ سر = کاؤنٹی (45 ^ سر + 30 ^ سر) = sqrt {2} / 2 (sqrt {3} / 2 / 1/2) = 1/4 (sqrt) {6} -سقر {2}) #

# -in (-75 ^ سر) = - (گناہ 45 کاسم 30 + کاش 45 گناہ 30) = -قرآن {2} / 2 (sqrt {3} / 2 + 1/2) = - 1/4 (sqrt {6} + sqrt {2}) #

# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i) ^ {10}} #

# = (sqrt {2} / 8) (-18 +26 i) 1/4 ((sqrt {6} -sqrt {2}) - (sqrt {6} + sqrt {2}) i) #

# = {11 + 2 sqrt (3)} / 4 + (11 sqrt (3) - 2) / 4 i #