جواب:
ڈومین: پوری اصلی لائن
رینج: #-0.0757,0.826#
وضاحت:
یہ سوال دو طریقوں میں سے ایک میں تشریح کی جا سکتی ہے. یا تو ہم صرف حقیقی لائن سے نمٹنے کی توقع رکھتے ہیں # آر آر #، یا باقی باقی پیچیدہ ہوائی جہاز کے ساتھ بھی # سی سی #. کا استعمال #ایکس# ایک متغیر کے طور پر یہ مطلب ہے کہ ہم صرف حقیقی لائن سے کام کررہے ہیں، لیکن میں دو مقدمات کے درمیان ایک دلچسپ فرق ہے.
ڈومین کا # f # یہ اعداد و شمار کے پورے مائنس کو سمجھا جاتا ہے جس میں کسی بھی نقطہ نظر کی وجہ سے انفینٹی تک پہنچنے کا کام ہوتا ہے. ایسا ہوتا ہے جب ڈومینٹر # x ^ 2 + 4 = 0 #، جب # x ^ 2 = -4 #. یہ مساوات کوئی حقیقی حل نہیں ہے، لہذا اگر ہم حقیقی لائن پر کام کررہے ہیں، تو ڈومین پورے وقفہ ہے # (- oo + oo) #. اگر ہم فعل اور ڈینومٹر کے معروف شرائط کی موازنہ کرتے ہوئے تقریب کی لامحدود حدود پر غور کرتے ہیں تو، ہم دیکھتے ہیں کہ انفیکشن دونوں میں یہ صفر ہوتا ہے، اور اس طرح ہم یہ کرسکتے ہیں کہ ہم اس وقفہ میں ان کو بند کردیں. # oo، + oo #.
مساوات # x ^ 2 = -4 # تاہم، دو پیچیدہ حل ہیں، #x = + - 2i #. اگر ہم پورے پیچیدہ طیارے پر غور کریں تو، پھر ڈومین ان دو پوائنٹس کو مکمل طیارہ مائنس ہے: # سی سی # # {+ - 2i} #. حقیقت کے مطابق، اگر ہم چاہتے ہیں تو ہم انفرادی طور پر اسی طرح شامل کرسکتے ہیں.
کی حد کا تعین کرنے کے لئے # f # ہمیں اپنے ڈومین پر زیادہ سے زیادہ اور کم از کم اقدار کو دریافت کرنے کی ضرورت ہے. ہم صرف اب بھی حقیقت کے لحاظ سے بات کریں گے، کیونکہ پیچیدہ طیارے پر ان کے مطابق انضمام کا تعین عام طور پر ایک مختلف قسم کے مسئلہ ہے جو مختلف ریاضی کے اوزار کی ضرورت ہوتی ہے.
سب سے پہلے ڈسپوزٹ کو لے کر قاعدہ قاعدہ کے ذریعہ لیں:
#f '(x) = ((x ^ 2 + 4) -2x (x + 3)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 = (- x ^ 2-6x + 4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #
فنکشن # f # جب کسی افادیت یا نقطہ نظر کا نقطہ نظر پہنچ جاتا ہے #f '(x) = 0 #، جب # -x ^ 2-6x + 4 = 0 #.
ہم اس کو حلال فارمولا سے حل کرتے ہیں:
# x = -1 / 2 (6 + -قرآن (52)) = - 3 + -قرآن (13) #. لہذا اس تقریب میں دو ایسے نقطہ نظر ہیں.
ہم ان پوائنٹس کو اپنی دوسری قیمتوں میں اپنے اقدار کی جانچ پڑتال کرتے ہیں # f #، جسے ہم دوبارہ قاعدہ کے اصول کے ذریعے لے جاتے ہیں:
#f '' (x) = ((- 2x-6) (x ^ 2 + 4) ^ 2 - (- x ^ 2-6x + 4) * 4x (x ^ 2 + 4)) / (x ^ 2 +4) ^ 4 #
# = (- 2 (x + 3) (x ^ 2 + 4) + 4x (x ^ 2 + 6x-4)) / (x ^ 2 + 4) ^ 3 #
ہم اپنے پہلے ڈیوکیٹک جڑ کی حساب سے جانتے ہیں کہ نمبر دو میں نمبر دو صفر صفر ہے، جیسا کہ صفر کی ترتیب ہم صرف ان پٹ کی تعداد کو ڈھونڈنے کے لئے مساوات کے برابر ہے.
تو، اس کا ذکر # (- 3 + -قرآن (13)) ^ 2 = 22bar (+) 6sqrt (13) #:
#f '' (- 3 + -قرآن (13)) = (- 2 (-3 + -قرآن (13) +3) (22 بار (+) 6 سیکرٹری (13) +4)) / (22 بار (+) 6 سیکرٹری (13) +4) ^ 3 #
# = (بار (+) 2 اسقر (13) (26 بار (+) 6 سیکرٹری (13))) / (26 بار (+) 6 سیکرٹری (13)) ^ 3 #
اس اظہار کے نشان کا تعین کرنے میں، ہم یہ پوچھیں گے کہ آیا # 26> 6 سیکرٹری (13) #. موازنہ کرنے کے لئے دونوں اطراف چوک #26^2=676#, # (6sqrt (13)) ^ 2 = 36 * 13 = 468 #. تو # 26-6qqq (13) # مثبت ہے (اور # 26 + 6 سکیر (13) # اس سے بھی زیادہ).
لہذا پوری اظہار کا نشان نیچے آتا ہے #bar (+) # اس کے سامنے، جس کا مطلب یہ ہے کہ # x = -3-sqrt (13) # ہے #f '' (x)> 0 # (اور اس وجہ سے کم از کم تقریب) اور # x = -3 + sqrt (13) # ہے #f '' (x) <0 # (اور اس وجہ سے ایک تقریب زیادہ سے زیادہ ہے). یاد رکھنا ہے کہ فعل انفیکشن میں صفر تک پہنچ جاتا ہے، ہم اب مکمل طور پر فنکشن کی شکل سمجھتے ہیں.
لہذا اب رینج حاصل کرنے کے لئے، ہم کم از کم اور زیادہ سے زیادہ پوائنٹس پر فنکشن کی قیمتوں کا حساب کرنا ضروری ہے # x = -3 + -قرآن (13) #
یاد رکھیں کہ #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #، اور تو
#f (-3 + -قرآن (13)) = (- 3 + -قرآن (13) +3) / (22 بار (+) 6 سیکرٹری (13) +4) = (+ - sqrt (13)) / (26 بار (+) 6sqrt (13)) #.
تو، حقیقی لائن پر # آر آر # تقریب #f (x) # رینج میں اقدار لیتا ہے # - sqrt (13) / (26 + 6 قارئین (13))، چوٹ (13) / (26-6 سیکنڈ (13)) #، جسے ہم اعداد و شمار کا اندازہ دیتے ہیں تو، آتا ہے #-0.0757,0.826#، تین اہم اعداد و شمار، حاصل کرنے کے لئے #ایکس# اقدار #-6.61# اور #0.606# (3 s.f.)
فلاح و بہبود کے طور پر تقریب کے گراف کو پلاٹ کریں:
گراف {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -15، 4.816، -0.2، 1}
جواب:
ڈومین: #x میں آر آر #
رینج: #f (ایکس) میں -0.075693909، + 0.825693909 رنگ (سفید) ("XXX") # (تقریبا)
وضاحت:
دیئے گئے
# رنگ (سفید) ("XXX") f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #
ڈومین
The ڈومین کی تمام اقدار ہیں #ایکس# جس کے لئے #f (x) # بیان کیا جاتا ہے.
کسی پولیوومیلیل کے طور پر بیان کردہ کسی بھی فعل کے لئے، اس فعل کے تمام اقدار کے لئے تعریف کی گئی ہے #ایکس# جہاں ڈویسر پالینیوم صفر کے برابر نہیں ہے. چونکہ # x ^ 2> = 0 # کے تمام اقدار کے لئے #ایکس#, # x ^ 2 + 4> 0 # کے تمام اقدار کے لئے #ایکس#؛ یہ ہے کہ #x! = 0 # کے تمام اقدار کے لئے #ایکس#؛ فنکشن تمام اصلی (# آر آر #) کی اقدار #ایکس#.
رینج
The رینج ترقی کے لئے تھوڑا سا دلچسپ ہے.
ہم نوٹ کریں کہ اگر مسلسل کام کی حد محدود ہو تو، ان کی حدوں کے نتیجے میں کام کے ڈیوٹی صفر کے برابر ہے.
اگرچہ ان میں سے کچھ کچھ معمولی ہوسکتے ہیں، ہم اس عمل کے ذریعہ کام کرنے کے لئے کافی بنیادی اصولوں سے کام کریں گے.
1 ذیابیطس کے لئے تناسب کا اصول
اگر #f (x) = x ^ n # پھر # (d f (x)) / (dx) = nx ^ (n-1) #
2 ذیابیطس کے لئے سماعت
اگر #f (x) = r (x) + s (x) # پھر # (d f (x)) / (dx) = (d r (x)) / (dx) + (d ے (x)) / (dx) #
3 ذیابیطس کے لئے مصنوعات کے اصول
اگر #f (x) = g (x) * h (x) # پھر # (d f (x)) / (dx) = (d g (x)) / (dx) * h (x) + g (x) * (d h (x)) / (dx) #
4 ذیابیطس کے لئے سلسلہ کا اصول
اگر #f (x) = p (q (x)) # پھر # (d f (x)) / (dx) = (d p (q (x))) / (d q (x)) * (d q (x)) / (dx) #
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
دی گئی تقریب کے لئے #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #
ہم یاد رکھیں کہ اس کے طور پر لکھا جا سکتا ہے #f (x) = (x + 3) * (x ^ 2 + 4) ^ (- 1) #
3 ہم جانتے ہیں
# رنگ (سفید) ("XXX") رنگ (سرخ) ((df (x)) / (dx)) = رنگ (چونے) ((d (x + 3)) / (dx)) * رنگ (نیلے رنگ) ((((x (2) 4) ^ (- 1)) + رنگ (نیلے رنگ) ((x + 3)) * رنگ (میگنا) ((ڈی ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1))) / (DX)) #
کی طرف سے 1 ہمارے پاس ہے
# رنگ (سفید) ("XXX") (d (x + 3)) / (dx) = (dx) / (dx) + (d (3 * x ^ 0)) / (dx) #
اور کی طرف سے 2
# رنگ (سفید) ("XXX") رنگ (چونے) (((d (x + 3)) / (dx)) = 1 + 0 = رنگ (چونے) (1) #
کی طرف سے 4 ہمارے پاس ہے
# رنگ (سفید) ("XXX") رنگ (میگینٹا) ((ڈی (x + 4) ^ (- 1)) / (DX)) = (d (x + 4) ^ (- 1)) / (d (x + 4)) * (d (x + 4)) / (dx) #
اور 1 اور 2
# رنگ (سفید) ("XXXXXXXX") = - 1 (x ^ 2 + 4) ^ (- 2) * 2x #
یا، سادہ
# رنگ (سفید) ("XXXXXXXX") = رنگ (میگنا) (- (2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #
ہمیں دے
# رنگ (سفید) ("XXX") رنگ (سرخ) ((df (x)) / (dx)) = رنگ (سبز) 1 * رنگ (نیلے رنگ) ((x + 4) ^ (- 1)) + رنگ (نیلے رنگ) ((x + 3)) * رنگ (میگنٹا) ((- 2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) #
جس کے طور پر آسان کیا جا سکتا ہے
# رنگ (سفید) ("XXX") رنگ (سرخ) ((ڈی ڈی (x)) / (dx) = (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #
جیسا کہ ذکر کردہ (راستہ واپس) اس کا مطلب یہ ہے کہ حد اقدار کب ہوگی
# رنگ (سفید) ("XXX") (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) = 0 #
# رنگ (سفید) ("XXX") آر آر-ایکس ^ 2-6x + 4 = 0 #
پھر چوکولی فارمولہ کا استعمال کرتے ہوئے (اس کو دیکھو، سوکریٹ پہلے ہی اس جواب کی لمبائی کے بارے میں شکایت کررہے ہیں)
کب
# رنگ (سفید) ("XXX") x = -3 + -قرآن (13) #
شدت کو بڑھانے کے بجائے ہم حد تک ان اقدار کو اپنے کیلکولیٹر (یا اسپریڈ شیٹ میں ڈالیں گے)، جس میں میں یہ کروں گا)
# رنگ (سفید) ("XXX") f (-3-sqrt (13)) -0.075693909 #
اور
# رنگ (سفید) ("XXX") f (-3 + sqrt (13)) 0.825693909 #
جواب:
رینج کو تلاش کرنے کا ایک آسان طریقہ. ڈومین ہے #x میں آر آر #. رینج ہے # میں -0.076، 0.826 #
وضاحت:
ڈومین ہے #x میں آر آر # جیسا کہ
# اے اے ایکس آر آر #ڈینومٹر # x ^ 2 + 4> 0 #
چلو # y = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #
کراس ضرب
#=>#, #y (x ^ 2 + 4) = x + 3 #
# yx ^ 2-x + 4y-3 = 0 #
یہ میں ایک چوک مساوات ہے #ایکس#
امتیازی سلوک اگر حل ہو # ڈیلٹا = = 0 #
# ڈیلٹا = (- 1) ^ 2-4 * (y) (4y-3) = 1-16y ^ 2 + 12y #
لہذا،
# 1-16y ^ 2 + 12y> = 0 #
#=>#, # 16y ^ 2-12y-1 <= 0 #
اس مساوات کے حل ہیں
# یو میں (12-مربع میٹر ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32)، ((-12) + sqrt ((- - 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32) #
#y میں 12-sqrt (208)) / 32، (12 + sqrt (208)) / 32 #
# میں -0.076، 0.826 #
گراف {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -6.774، 3.09، -1.912، 3.016}
