ثابت کرو کہ نمبر چوٹسٹ (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) کسی قدرتی قدر کے لئے منطقی نہیں ہے 1 سے زائد سے زیادہ؟

جواب:

وضاحت ملاحظہ کریں …

وضاحت:

فرض کریں:

#sqrt (1 + sqrt (2 + … + sqrt (n))) # عقلی ہے

اس کے بعد اس کا مربع عقلی ہونا چاہئے، i.e.:

# 1 + sqrt (2 + … + sqrt (n)) #

اور اس وجہ سے یہ ہے:

#sqrt (2 + sqrt (3 + … + sqrt (n))) #

ہم بار بار مربع اور تلاش کرسکتے ہیں کہ مندرجہ بالا منطقی ہونا ضروری ہے:

# {(sqrt (n-1 + sqrt (n)))، (sqrt (n)):} #

لہذا # n = k ^ 2 # کچھ مثبت انضمام کے لئے #k> 1 # اور:

# sqrt (n-1 + sqrt (n)) = sqrt (k ^ 2 + k-1) #

یاد رکھیں کہ:

# k ^ 2 <k ^ 2 + k-1 <k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2 #

لہذا # k ^ 2 + k-1 # یا کسی عدد کے مربع نہیں ہے #sqrt (k ^ 2 + k-1) # غیر معقول ہے، ہماری دعوی کے خلاف ہے # sqrt (n-1 + sqrt (n)) # عقلی ہے.

جواب:

ذیل میں دیکھیں.

وضاحت:

فرض

#sqrt (1 + sqrt (2 + cdots + sqrt (n))) = p / q # کے ساتھ # p / q # ہم کم ہیں

#sqrtn = (cdots (((/ / q) ^ 2-1) ^ 2-2) ^ 2 cdots - (n-1)) = P / Q #

جو ایک غریب ہے، کیونکہ اس کے نتیجے میں، مثبت عدد کے کسی مربع جڑ عقلی ہے.