ایک گھسائی ہوئی x'y'-نظام کے بغیر ایک x'y اصطلاح کے بغیر مساوات کو ریورس. کیا میں کچھ مدد کر سکتا ہوں؟ شکریہ!

جواب:

دوسرا انتخاب:

# x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

وضاحت:

دیئے گئے مساوات

# 31x ^ 2 + 10sqrt3xy + 21y ^ 2-144 = 0 "1" #

جنرل کیسیسیئن فارم میں ایک کنک سیکشن کے لئے ہے:

# Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 #

کہاں # اے = 31، بی = 10 قصر 3، سی = 21، ڈی = 0، ای = 0 اور ایف = -144 #

محور کے گردش ہمارا مساوات دیتا ہے جو ہمیں ایک مخصوص زاویہ کو ایک کنک سیکشن کو گھومنے کی اجازت دیتا ہے، # theta #. اس کے علاوہ، ہمیں ہمیں ایک مساوات فراہم کرتی ہے جو ہمیں گیس کو مضبوط بنانے کی اجازت دیتا ہے # xy # 0 بننا

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (B / (C-A)) #

مساوات سے متعلق اقدار کو تبدیل کرنا 1:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 ((10sqrt3) / (21-31)) #

آسان کریں:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (-sqrt3) #

#theta = -pi / 6 #

اس بات کا یقین کرنے کے لئے مساوات کا استعمال (9.4.4 بی) کا استعمال کرتے ہوئے کہ نئے گھماؤ کا سبب بنتا ہے # xy # اصطلاح 0:

# بی '= (A-C) گناہ (2theta) + B cos (2theta) #

# بی '= (31-21) گناہ (2 (-pi / 6)) + 10sqrt3cos (2 (-pi / 6)) #

#B '= 0 لاکھ # تصدیق

مرتب کرنے کے مساوات کا استعمال کریں (9.4.4a) # A #:

#A '= (A + C) / 2 + (A - C) / 2 cos (2theta) - B / 2 sin (2theta) #

#A '= (31 + 21) / 2 + (31 - 21) / 2 کاسم (2 (-pi / 6)) - (10 سیکٹر 3) / 2 گناہ (2 (-pi / 6) #

#A '= 36 #

مرتب کرنے کے لئے مساوات کا استعمال کریں (9.4.4c) # C '#:

#C '= (A + C) / 2 + (C - A) / 2 cos (2theta) + B / 2 sin (2theta) #

# سی '= (31 + 21) / 2 + (21 - 31) / 2 کاسم (2 (-pi / 6)) + (10 سیکٹر 3) / 2 گناہ (2 (-pi / 6) #

#C '= 16 #

مرتب کرنے کے لئے مساوات (9.4.4 ایف) کا استعمال کریں # F '#

#F '= F #

#F '= -144 #

اب، ہم انفرادی شکل لکھ سکتے ہیں:

# 36x ^ 2 + 16y ^ 2-144 = 0 #

دونوں اطراف تقسیم کریں 144 کی طرف سے:

# x ^ 2/4 + y ^ 2 / 9-1 = 0 #

دونوں اطراف میں 1 شامل کریں:

# x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

جواب:

اختیاری بی

وضاحت:

ہم میٹرکس فارم میں مساوات لکھ سکتے ہیں اور پھر اس کے پرنسپل محور پر اسپن کرسکتے ہیں.

چلو:

#bb x ^ ٹی ایم بی بی x = x، y (a، b)، (b، c) (x)، (y) = Q #

# = (x، y) (ax + b y)، (bx + cy) = q #

# = ax ^ 2 + 2b xy + cy ^ 2 = q #

# = a = 31، d = 5 sqrt3، c = 21، Q = 144 #

اور اسی طرح میٹرکس فارم میں:

# بی بی x ^ ٹی (31، 5 sqrt3)، (5 sqrt3، 21) بی بی x = 144 qquad square #

محور کو گھومنے کے لئے # bbx # کی طرف سے # theta #:

#bb x ^ '= R (theta) bb x #

• # مثلا bbx = R ^ (- 1) bbx ^ '#

منتقلی #bb x ^ '= R بی بی ایکس #:

# مثلا بی بی ایکس ^ ('^ ٹی) = (آر بی بی ایکس) ^ ٹی = بی بی x ^ T R ^ T #

# مثلا بی بی ایکس ^ ('^ ٹی) = بی بی x ^ ٹی R ^ (- 1) #جیسے آر آر اوہوگولون ہے

• # مثلا بی بی ایکس ^ ('^ ٹی) R = بی بی x ^ T #

ان آخری 2 نتائج میں ڈالیں #مربع#:

#bb x ^ ('^ ٹی) ر (31، 5 sqrt3)، (5 sqrt3، 21) R ^ (- 1) بی بی x ^' = 144 #

IOW اگر آر یہ میٹرکس ہے جو ڈائگنالیزس ہے ایم ، پھر ہمارے ڈیگنگن ایگینویرٹر میٹرکس کے لئے اس کے پرنسپل محور کے لحاظ سے مساوات ہیں ڈی، یعنی:

• #D = R M R ^ (- 1) #

ایم کے ایگینولیوز 36 اور 16 ہیں لہذا یہ ڈینگنبلائز کیا جا سکتا ہے:

#bb x ^ ('^ ٹی) ڈی بی بی ایکس ^' = بی بی ایکس ^ ('^ ٹی) (36، 0)، (0، 16) بی بی x ^' = 144 #

# (x '، y') (9، 0)، (0، 4) ((x ')، (y')) = 36 #

#x ^ ('^ 2) / 4 + y ^ (' ^ 2) / 9 = 1 #