ایک گیند کو سیدھے نیچے 12 فٹ کی اونچائی سے نیچے دیا جاتا ہے. زمین کو مارنے پر اس کا فاصلہ 1/3 فاصلے پر ہوا. بال آرام کرنے سے پہلے گیند سفر (اوپر اور نیچے دونوں) کتنی دور ہوگی؟

جواب:

گیند 24 فٹ سفر کرے گی.

وضاحت:

یہ مسئلہ لامحدود سیریز پر غور کی ضرورت ہے. گیند کے اصل رویے پر غور کریں:

سب سے پہلے گیند 12 فٹ گر جاتا ہے.

اگلا گیند بن گیا #12/3 = 4# پاؤں.

گیند پھر 4 فٹ گر جاتا ہے.

ہر مسلسل اچھال پر، گیند سفر کرتا ہے

# 2 * 12 / (3 ^ ن) = 24/3 ^ ن # پاؤں، کہاں # n # بونس کی تعداد ہے

اس طرح، اگر ہم تصور کریں کہ گیند سے شروع ہوتا ہے #n = 0 #، پھر ہمارے جواب کو جامیاتی سیریز سے حاصل کیا جاسکتا ہے.

# sum_ (n = 0) ^ غیر معمولی 24/3 ^ ن - 12 #

یاد رکھیں #-12# اصلاح کی اصطلاح، یہ ہے کیونکہ اگر ہم سے شروع ہوتا ہے # n = 0 # ہم 12 فوٹس کی 0 باؤنس اور 12 فٹ نیچے گن رہے ہیں. حقیقت میں بال صرف نصف سفر کرتا ہے، جیسا کہ یہ midair میں شروع ہوتا ہے.

ہم اپنی رقم کو آسان بنا سکتے ہیں:

# 24sum_ (n = 0) ^ غیر معمولی 1/3 ^ ن - 12 #

یہ صرف ایک سادہ جیومیٹرک سلسلہ ہے، جس کا قاعدہ مندرجہ ذیل ہے.

#lim_ (n-> غلطی) sum_ (i = 0) ^ n r ^ i = 1 / (1 - r) #

جب تک # | r | <1 #

یہ ہماری مسئلہ کا ایک آسان حل پیدا کرتا ہے:

# 24sum_ (n = 0) ^ غیر معمولی 1/3 ^ ن - 12 = 24 * 1 / (1-1 / 3) - 12 #

# = 24*1/(2/3) - 12 = 24*3/2 -12 #

#= 36 - 12 = 24# پاؤں.