5a + 12b اور 12a + 5b بائیں زاویہ مثلث کی طرف کی لمبائی اور 13a + kb ہایپوٹینج ہو، جہاں A، B اور K مثبت عدد ہیں. آپ ک کے کم از کم ممکنہ قدر اور اس ک کے لئے ایک اور بی کے سب سے کم اقدار کیسے ملتے ہیں؟

جواب:

#k = 10 #, # a = 69 #, # ب = 20 #

وضاحت:

پیتراگورس کے پریمیم کی طرف سے، ہم نے ہیں:

# (13a + کیب) ^ 2 = (5a + 12b) ^ 2 + (12a + 5b) ^ 2 #

یہ ہے کہ:

# 169a ^ 2 + 26 کاب + k ^ 2b ^ 2 = 25a ^ 2 + 120ab + 144b ^ 2 + 144a ^ 2 + 120ab + 25b ^ 2 #

# رنگ (سفید) (169a ^ 2 + 26 کاب + ک ^ 2 ب ^ 2) = 169 اے ^ 2 + 240اب + 169b ^ 2 #

بائیں ہاتھ کی طرف سے تلاش کرنے کے لئے دونوں سروں سے ذبح کریں:

# 0 = (240-26 ک) اب + + (169-ک ^ 2) بی ^ 2 #

# رنگ (سفید) (0) = ب ((240-26 ک) ایک + (169-ک ^ 2) ب) #

چونکہ #b> 0 # ہمیں ضرورت ہے:

# (240-26k) ایک + (169-ک ^ 2) بی = 0 #

اس کے بعد سے #a، b> 0 # ہمیں ضرورت ہے # (240-26k) # اور # (169-K ^ 2) # برعکس علامات ہیں.

کب #k میں 1، 9 # دونوں # 240-26k # اور # 169-K ^ 2 # مثبت ہیں

کب #k میں 10، 12 # ہم تلاش کرتے ہیں # 240-26k <0 # اور # 169-K ^ 2> 0 # جیسا کہ ضرورت ہے.

تو کم سے کم ممکنہ قیمت # k # ہے #10#.

پھر:

# -20a + 69b = 0 #

اس کے بعد سے #20# اور #69# سے کہیں زیادہ عام عنصر نہیں ہے #1#، کم از کم اقدار # a # اور # ب # ہیں #69# اور #20# بالترتیب.