کیوب جڑ (sqrt3i) کیا ہے؟

میں ٹرنونومیٹرک شکل میں نمبر تبدیل کرکے شروع کروں گا.

# ز = sqrt (3) -i = 2 cos (-pi / 6) + عدد (-pi / 6) #

اس نمبر کی کیوب جڑ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے:

# ز ^ (1/3) #

اب اس کے ساتھ دماغ میں trigonometric شکل میں ایک پیچیدہ نمبر کی نٹ طاقت کے لئے فارمولا کا استعمال کرتے ہیں:

# z ^ n = r ^ n cos (ntheta) + isin (ntheta) # دینا:

# ز ^ (1/3) = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 6 * 1/3) + عدد (-pi / 6 * 1/3) = #

# = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 18) + عدد (-پی پی / 18) #

آئتاکار کون سا ہے: # 4.2-0.7i #

میں Gió کے جواب سے مکمل طور پر متفق نہیں ہوں، کیونکہ یہ نامکمل اور (رسمی طور پر) غلط ہے.

رسمی غلطی کے استعمال میں ہے ڈی مووی کے فارمولا غیر اندرونی اخراجات کے ساتھ. De Moivre کی فارمولہ صرف انوگر کے اخراجات پر لاگو کیا جا سکتا ہے. وکیپیڈیا کے صفحے پر اس پر مزید تفصیلات

وہاں آپ کو نمٹنے کے لئے فارمولہ کا ایک جزوی توسیع مل جائے گا # n #یہ جڑیں (اس میں اضافی پیرامیٹر شامل ہے # k #): اگر # z = r (costata + i sin sta) #، پھر

# ز ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos ((theta + 2 k pi) / n) + i sin ((theta + 2 k pi) / n)) # کہاں # k = 0، …، n-1 #.

ایک (اور کچھ معنی میں) پیچیدہ نمبروں کی بہت بنیادی ملکیت ہے # n #جڑیں ہیں … # n # جڑیں (حل)! پیرامیٹر # k # (اس کے درمیان مختلف ہوتی ہے #0# اور # n-1 #، تو # n # اقدار) ہمیں ایک واحد فارمولہ میں خلاصہ دیتا ہے.

لہذا مکعب کی جڑیں تین حل ہیں اور ان میں سے ایک کو ڈھونڈنا کافی نہیں ہے: یہ صرف "#1/3# حل کے ".

میں ذیل میں اپنے حل کی تجویز لکھوں گا. تبصرے کا استقبال ہے!

جیسا کہ Gió نے صحیح طریقے سے تجویز کی، پہلا قدم اظہار کیا گیا ہے # ز = sqrt {3} -i # اس کے ٹگونومیٹک فارم میں #r (costa theta + i sin theta) #. جڑ سے نمٹنے کے بعد، ٹگونومیٹرکک فارم (تقریبا) ہمیشہ ایک مفید آلے (مل کر ایک ہی ممکنہ طور پر) ہوتا ہے. تم سمجھے:

# r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = sqrt {(sqrt {3}) ^ 2 + (- 1) ^ 2} = sqrt {3 + 1} = sqrt {4} = 2 #

# theta = آرکٹان (y / x) = آرکٹان (- 1 / sqrt {3}) = - pi / 6 #

تو # z = r (costa + i sin sta) = 2 (cos (-pi / 6) + i sin (-pi / 6) #

اب آپ جڑیں شمار کرنا چاہتے ہیں. مندرجہ بالا فارمولا کی طرف سے، ہم حاصل کرتے ہیں:

# ز ^ {1/3} = r ^ {1/3} (کیسا ((تھیٹا + 2 ک پی پی / 3) + میں گناہ ((دٹا + 2 ک پی پی / 3)) = 2 ^ {1 / 3} (کاش ((-pi / 6 + 2 ک پی پائپ) / 3) + میں گناہ ((-pi / 6 + 2 ک پی پی / 3)) #

کہاں # k = 0، 1، 2 #. تو وہاں تین مختلف اقدار ہیں # k # (#0#, #1# اور #2#) کہ تین مختلف پیچیدہ جڑوں کی جنم دیتا ہے # ز #:

# z_0 = 2 ^ {1/3} (کاسم ((-pi / 6 + 0) / 3) + میں گناہ ((-pi / 6 + 0) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-پی پی / 18) + میں گناہ (-پی پی / 18)) #

# ز_1 = 2 ^ {1/3} (کاسم ((-pi / 6 + 2 پائپ) / 3) + میں گناہ ((-pi / 6 + 2 پائپ) / 3)) = 2 ^ {1/3} (کاسم (-11/18 پائپ) + میں گناہ (-11/18 پائپ)) #

# z_2 = 2 ^ {1/3} (کاسم ((-pi / 6 + 4 پائپ) / 3) + میں گناہ ((-pi / 6 + 4 پائپ) / 3)) = 2 ^ {1/3} (کاسم (-23/18 پائپ) + میں گناہ (-23/18 پائپ)) #

# z_0 #, # z_1 # اور # z_2 # تین حل ہیں

کے لئے فارمولہ کی جامی درجہ بندی # n # پیچیدہ ہوائی جہاز میں حل ڈھونڈنے کے لئے جڑیں بہت مفید ہیں. اس کے علاوہ پلاٹ بہت اچھی طرح سے فارمولا کی خصوصیات ہے.

سب سے پہلے، ہم یہ محسوس کر سکتے ہیں کہ تمام حل ایک ہی فاصلہ ہے # r ^ {1 / n} # (ہمارے مثال میں #2^{1/3}#) اصل سے. لہذا وہ سب ریڈیو کے فریم پر جھوٹ بولتے ہیں # r ^ {1 / n} #. اب ہمیں پوائنٹ کرنا ہوگا کہاں انہیں اس فریم پر رکھیں. ہم مندرجہ ذیل راستے میں ساک اور کاسمین کے دلائل کو دوبارہ لکھا سکتے ہیں:

# ز ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos (theta / n + (2pi) / n k) + i sin (theta / n + (2pi) / n k)) #

"سب سے پہلے" جڑ سے متعلق ہے # k = 0 #:

# z_0 = r ^ {1 / n} (cos (theta / n) + i sin (theta / n)) #

تمام زاویہ کو زاویہ کو جوڑ کر اس سے جاسکتا ہے # (2pi) / ن # زاویہ سے دوبارہ # theta / n # پہلی جڑ سے متعلق ہے # z_0 #. تو ہم آگے بڑھ رہے ہیں # z_0 # ایک گردش کی طرف سے فریم پر # (2pi) / ن # radians (# (360 °) / این #). تو پوائنٹس باقاعدگی سے عمودی عمودی پر واقع ہیں # n #گون. ان میں سے ایک کو، ہم دوسروں کو تلاش کر سکتے ہیں.

ہمارے معاملے میں:

جہاں نیلے رنگ زاویہ ہے # theta / n = -pi / 18 # اور جادوگر ایک ہے # (2pi) / ن = 2/3 پی #.