ری آر آر کو حقیقی نمبروں کے سیٹ سے مسترد کرتے ہیں. تمام افعال کو تلاش کریں F: RR-> RR، abs (f (x) - f (y)) = 2 abs (x-y) پوری طرح ایکس، آپ آر آر سے تعلق رکھتے ہیں؟

ری آر آر کو حقیقی نمبروں کے سیٹ سے مسترد کرتے ہیں. تمام افعال کو تلاش کریں F: RR-> RR، abs (f (x) - f (y)) = 2 abs (x-y) پوری طرح ایکس، آپ آر آر سے تعلق رکھتے ہیں؟
Anonim

جواب:

#f (x) = دوپہر 2 ایکس + C_0 #

وضاحت:

اگر #abs (f (x) -f (y)) = 2abs (x-y) # پھر #f (x) # Lipschitz مسلسل ہے. تو کام #f (x) # مختلف ہے. اس کے بعد،

#abs (f (x) -f (y)) / (abs (x-y)) = 2 # یا

#abs ((f (x) -f (y)) / (x-y)) = 2 # ابھی

#lim_ (x- y) abs ((f (x) -f (y)) / (xy)) = abs (lim_ (x- y) (f (x) -f (y)) / (xy)) = abs (f '(y)) = 2 #

تو

#f (x) = دوپہر 2 ایکس + C_0 #