دکھائیں کہ مساوات X ^ 4 + 2x ^ 2 - 2 = 0 بالکل درست ہے [0، 1]؟

جواب:

ذیل میں دیکھیں.

وضاحت:

سب سے پہلے، آتے ہیں #f (x) = x ^ 4 + 2x ^ 2-2 # ہمارے ڈومین کی حد پر:

#f (0) = 0 ^ 4 + 2 * 0 ^ 2-2 = -2 <0 #

#f (1) = 1 ^ 4 + 2 * 1 ^ 2-2 = 1> 0 #

اگر ہم ناپسندی کا اظہار کرتے ہیں

#f '(x) = 4x ^ 3 + 4x = 4x (x ^ 2 + 1) #

ہم دیکھ سکتے ہیں کہ یہ ہمیشہ مثبت ہے #0,1#. حقیقت میں، # x ^ 2 + 1 # ہمیشہ مثبت ہے، اور # 4x # واضح طور پر واضح ہے، کیونکہ #ایکس# مثبت ہے.

لہذا، ہمارا کام ذیل میں شروع ہوتا ہے #ایکس# محور، بعد میں #f (0) <0 #، اور اوپر سے ختم ہوتا ہے #ایکس# محور، بعد میں #f (1)> 0 #. یہ فعل ایک اہم ہے، اور اسی طرح یہ مسلسل ہے.

اگر ایک مسلسل لائن محور کے اوپر شروع ہوتا ہے اور اوپر ختم ہو جاتا ہے، تو اس کا مطلب ہے کہ اس کے درمیان کہیں بھی اس کو پار کرنا ہوگا. اور حقیقت یہ ہے کہ مشتقکہ ہمیشہ مثبت ہے کا مطلب یہ ہے کہ یہ کام ہمیشہ بڑھ رہا ہے، اور اس وجہ سے یہ محور دو بار نہیں کر سکتا، لہذا ثبوت.