ایک لہر کی تقریب کیا ہے اور اس کی ضروریات کو اچھی طرح سے برتاؤ کیا جا سکتا ہے، مثلا جسمانی حقیقت کی نمائندگی کرنے کے لئے؟

جواب:

لہر ایک پیچیدہ قیمت ہے جس کی طول و عرض (مطلق قیمت) امکانات کی تقسیم فراہم کرتا ہے. تاہم یہ ایک عام لہر کے طور پر اسی طریقے سے برتاؤ نہیں کرتا ہے.

وضاحت:

کوانٹم میکانکس میں، ہم ایک نظام کی حیثیت سے بات کرتے ہیں. سب سے آسان مثال میں سے ایک ذرہ ہے جو ایک اوپر یا نیچے اسپن میں ہوسکتا ہے، مثال کے طور پر الیکٹران. جب ہم کسی نظام کے اسپن کی پیمائش کرتے ہیں تو، ہم اس کی پیمائش یا اس سے کم ہوتے ہیں. ایک ایسی ریاست جس کے ذریعہ ہم پیمائش کے نتائج پر یقین رکھتے ہیں، ہم ایک ایگینسٹیٹ (ایک اپ ریاست) کہتے ہیں # uarr # اور ایک نیچے ریاست # darr #).

ایسی ریاستیں بھی موجود ہیں جہاں ہم اس کی پیمائش سے پہلے پیمائش کے نتائج کا یقین نہیں رکھتے ہیں. ان ریاستوں میں ہم ایک سپرپوشن کہتے ہیں اور ہم انہیں لکھ سکتے ہیں # a * uarr + b * darr #. یہاں ہمارے پاس ہے # | a | ^ 2 # ماپنے کا امکان # uarr #، اور # | b | ^ 2 # ماپنے کا امکان # darr #. اس کا مطلب یہ ہے کہ # | a | ^ 2 + | b | ^ 2 = 1 #. ہم اجازت دیتے ہیں # a، b # پیچیدہ نمبر بننے کے لئے، اس کی وجہ اس مثال سے فوری طور پر واضح نہیں ہے، لیکن لہروں کے تناظر میں یہ زیادہ واضح ہو جائے گا. سب سے نیچے کی عبارت یہ ہے کہ اس سے کہیں زیادہ ریاستیں ہیں جن میں سے کسی کو اسپانس کی پیمائش کرنے کے لۓ اسی امکانات فراہم کرتی ہیں.

اب ہم اس اسپن ریاست میں ایک فنکشن تفویض کرنے کی کوشش کر سکتے ہیں. چونکہ اسپن کی پیمائش کے صرف دو نتائج ہیں، ہمارے پاس ایک فنکشن ہے جس میں صرف دو ممکنہ آدانیاں ہیں. اگر ہم تقریب کو کال کریں # پی ایس # (یہ ایک بہت روایتی علامت ہے جو ایک لفافن کے لئے استعمال ہوتا ہے)، ہم نے مقرر کیا #psi (uarr) = a # اور #psi (darr) = b #.

اب ہم جھاڑو بدلتے ہیں. ذرہ کا ایک پہلو یقینا اس کا مقام ہے. اس طرح اسپن کے معاملے میں، ہم مقام کے لئے مختلف اقدار کی پیمائش کرسکتے ہیں، اور ہم ایسے ریاستوں میں ہوسکتے ہیں جن میں پیمائش کا نتیجہ پہلے ہی مقرر نہیں ہوتا. چونکہ ہمارے پاس ان مقامات کی بے شمار انفینٹی مقدار ہے جہاں ذرہ ہوسکتا ہے، اس ریاست کو لکھتے ہیں # a * "یہاں" + b * "وہاں" # نہیں کریں گے. تاہم، اس فعل کا خیال ہے جو ہم نے اوپر استعمال کیا ہے. تو کسی بھی جگہ کے لئے #ایکس#ہمارے پاس پیچیدہ قدر ہے #psi (x) #. ذرہ کی امکان کثافت کی تقریب اب کی طرف سے دیا جاتا ہے # | psi (x) | ^ 2 #.

تمام منصفانہ طور پر، تاریخی طور پر لہر کی افزائش کا خیال اسپن کے مقابلے میں زیادہ ہے، لیکن مجھے لگتا ہے کہ ایک مخصوص ڈگری پر اسپن کا خیال سمجھتا ہے کہ لہروں کو سمجھنے میں مدد ملتی ہے.

اب سب سے پہلے، ویو فاؤنشن کمپلیکس کیوں قدر ہے؟ مداخلت کے خیال میں پہلی وجہ پایا جا سکتا ہے. ذرہ کی لہر خود مداخلت کر سکتے ہیں. یہ مداخلت لہروں کے افعال کو شامل کرنے کے ساتھ کرنا پڑتا ہے، اگر لہر افعال ایک مخصوص نقطہ پر ایک ہی مطلق قدر دیتے ہیں، تو اس نقطہ کے ارد گرد ذرہ کی پیمائش کا امکان اسی طرح ہے. تاہم تقریب کی اقدار مختلف ہوسکتی ہیں، اگر وہ اسی طرح ہیں، تو انہوں نے مزید کہا کہ طول و عرض، یا امکان کثافت 4 (#|2|^2#) بار بار بڑا (تخلیقی مداخلت)، اور اگر وہ ایک نشانی سے متفق ہیں تو وہ ایک دوسرے کو ناپسند کرتے ہیں (تباہ کن مداخلت). تاہم مثال کے طور پر ایک عنصر کے لئے بھی مختلف ہوسکتا ہے #میں#، مطلب یہ ہے کہ امکان کثافت بن جاتا ہے #2# اس وقت بار بار بڑا. ہم جانتے ہیں کہ یہ سب مداخلت ہوسکتی ہے. لہذا پہلے یہ بیان کیا گیا ہے جیسا کہ پیچیدہ قابل قدر لہروں کی طرف اشارہ کرتا ہے.

Schrdingding مساوات میں دوسری وجہ پایا جا سکتا ہے. ابتدائی طور پر یہ خیال کیا گیا تھا کہ ان لہروں نے صرف کلاسیکی لہروں کی طرح سلوک کیا. تاہم، جب Schrdingding نے ان لہروں کے رویے کی وضاحت کرنے کی کوشش کی تھی، یا کم سے کم وقت کے ذریعے ان کے ارتقاء، انہوں نے محسوس کیا کہ مساوات کی گورننس کلاسیکی لہروں کافی نہیں تھی. کام کرنے کے لۓ، اسے مساوات میں ایک پیچیدہ نمبر متعارف کرنا پڑا تھا، نتیجے میں یہ نتیجہ نکلتا تھا کہ کام خود کو بھی پیچیدہ ہے، اور مساوات میں ظاہر ہونے والے ڈیویوٹیوٹس کا حکم کلاسیکی لہر مساوات سے مختلف ہے.

مساوات میں یہ فرق تمہارا دوسرا سوال بھی جواب دیتا ہے. چونکہ موج کی ارتقاء کی ارتقاء کلاسیکی لہروں سے بہت زیادہ مختلف ہوتی ہے، ہم کلاسیکی لہر طبیعیات میں ہم اسی طریقوں کا استعمال نہیں کر سکتے ہیں. یقینا جیمیٹک دلائل آپ استعمال کرسکتے ہیں، لیکن یہ کافی نہیں ہو گا کہ کلوم فزکس میں تمام واقعے کی وضاحت کریں. اس کے علاوہ، اگرچہ ذرا ذرہ ذرہ کے بارے میں بہت زیادہ معلومات فراہم کرتا ہے، تو یہ آپ کو اس کے اسپن کے بارے میں کچھ نہیں بتاتا ہے، کیونکہ مشاہدات اسپن اور مقام ہر ایک کے ساتھ کرنے کے لئے بہت کم ہے.

شاید میں اس کی تفسیر کر رہا ہوں کہ غلطی کی وجہ سے آپ نے کیا مطلب ہے. شاید آپ اس کا ایک مثال دے سکتے ہیں جو آپ کا مطلب ہے. شاید میں میں آپ کی مدد کر سکتا ہوں.

The لہر کی تقریب کمانم میکانی نظام کی حیثیت کی نمائندگی کرتا ہے جیسے ایٹم یا ایک انو.

یہ یا تو کی نمائندگی کی جا سکتی ہے # پی ایس #، وقت آزاد لہر کی تقریب، یا # Psi #، وقت پر منحصر ہے لہر کی تقریب

کیونکہ لہر تقریب واضح طور پر ایک ایسے نظام کی نمائندگی کرتا ہے جو ایک جیسے سلوک کرتا ہے لہر (یہ کوئی اتفاق نہیں ہے کہ اسے بلایا جاتا ہے لہر تقریب!)، ہم عام طور پر ایک کی توقع کریں گے غیر محدود لہر کی تقریب میں کوئی حد نہیں ہے. یہ حقیقت پر غور کریں # sinx # اور # cosx #، دو افعال واضح طور پر لہروں ہیں، کے ڈومینز ہیں # (- oo، oo) #.

نمونے: زبانوں کے لئے وظیفے کی تقریب

تاہم، مثلا مثال کے طور پر آتے ہیں. اس کا ایک مجموعہ ہونا ضروری ہے حد کی حالت ایک زبانی طور پر، کیونکہ واضح طور پر مباحثہ غیر معمولی نہیں ہیں.

ایک لہر فنکشن دکھا سکتی ہے جوہری مداروں کے لکیری مجموعہ آلودولر آبادیوں کو بنانے کے لئے:

# رنگ (نیلے رنگ) (psi _ ("MO")) = sum_ (i) c_iphi_i ^ "AO" #

# = رنگ (نیلے رنگ) (c_1phi_ (1s) + c_2phi_ (2s) + c_3phi_ (2px) + c_4phi_ (2py) + c_5phi_ (2pz) +.)) #

کہاں # c_i # ہے توسیع گنجائش سوال میں، اور خاص طور پر آلوکولی آبائی میں ہر ایٹمی آبائی کا حصہ بنانا # phi_i ^ "AO" # ہے تجرباتی / آزمائشی لہر کی تقریب ہر ایٹمی آبائی کے لئے.

چونکہ ایک لہر فنکشن ایک اوربالی کی نمائندگی کرنے کے قابل ہوسکتا ہے، اس کے پاس ایک مثبت ردعمل ہونا ضروری ہے (#r> 0 #) اور لہر کی تقریب ضروری ہے واحد بہاؤ، بند , مسلسل , سنجیدگی تمام متعلقہ لہر کے کاموں کو، اور معمول .

دوسرے الفاظ میں، یہ عمودی لائن ٹیسٹ پاس کرنا ضروری ہے، وکر کے تحت ایک مکمل علاقہ ہے، کوئی چھلانگ / discontinuities / ایسومپٹیٹ / وقفے نہیں ہے، اور مندرجہ ذیل دو مساوات کو پورا کرنا:

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Bd tau = 0 #

(لہر فنکشن اور اس کی پیچیدہ سنجیدگی کا انحصار ہے #0# اگر لہر کے افعال مختلف ہیں)

#int_ "آل اسپیس" psi_A ^ "*" psi_Ad tau = 1 #

(لہر فنکشن اور اس کی پیچیدہ سنجیدگی کا انحصار عام طور پر ہوتا ہے جیسا کہ اس کے برابر ہے #1# اگر لہر کے افعال اسی نشان کے علاوہ ہیں # pmi #)

ہائیڈروجن ایٹم کے لئے کروییاتی سمتوں میں لہر کی تقریب کے لئے ایک مثال کا مساوات یہ ہے:

# رنگ (نیلے رنگ) (psi_ (2pz) (r، theta، phi)) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (تھیٹا، فائی) #

# = رنگ (نیلے رنگ) (1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ ("3/2") ((Zr) / (a_0)) ای ^ (- Zr // 2a_0) لاگتٹا) #

سوچنے کے لئے، میں نے اصل میں اس کو عام کرنے کا وقت گزارا. میں نے بھی دوسرے دو کے ساتھ اوہوگونتا کی جانچ پڑتال کرنے کا وقت لیا # 2p # لہر کے افعال: پی

صرف اس صورت میں، یہاں میں سکریچ پیڈ میں اوپر سے منسلک کیا جاسکتا ہے.

#' '#

کی معمولی

The # 2p_z # جوہری زبانی لہر ہے:

#psi_ (2pz) #

# = R_ (nl) (r) Y_ (l) ^ (m) (theta، phi) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (0) (theta، phi) #

# = 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (3/2) (Zr) / (a_0) ای ^ (- (Zr) / (2a_0)) costheta #

(McQuarrie)

ہے # 2p_z # لہر واقعی معمول باہر تلاش کریں!

# ریاضی (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl) ^ "*" (r) R_ (nl) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (تھیٹا، فای) sintheta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (؟) (=) 1) #

# 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (5/2) ^ 2 int_ (0) ^ (oo) ای ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr int_ (0) ^ (پی) سنٹیٹیٹوسس ^ 2thetad theta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (؟) (=) 1 #

# رنگ (سبز) (1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) ای ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr stackrel (= "2/3") (زیادہ سے زیادہ (int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad تھیٹا)) stackrel (= 2pi) (زیادہ سے زیادہ (int_ (0) ^ (2pi) dphi)) stackrel (؟) (=) 1) #

اب، صرف ریڈیل جز کی جانچ پڑتال کرتا ہے، جو پاگل حصہ ہے … حصوں کی شروعات سے چراغ انٹیگریشن!

ویو فشن کے ریڈیولڈ اجزاء کی تشخیص

حصہ 1

#int_ (0) ^ (oo) ای ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr #

چلو:

#u = r ^ 4 #

#dv = ای ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / ز ^ ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / ز ^ ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - int - (a_0) / ز ^ ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3dr} #

حصہ 2

چلو:

#u = r ^ 3 #

#dv = ای ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / ز ^ ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 3r ^ 2dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 - (a_0) / ز ^ ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int - (A_0) / ز ^ ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

حصہ 3

چلو:

#u = r ^ 2 #

#dv = ای ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / ز ^ ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 2rdr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3 - (A_0) / ز ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int - (a_0) / ز ^ ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z ای ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int e ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

حصہ 4

چلو:

#u = r #

#dv = ای ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / ز ^ ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z ای ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2 {- (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) dr}} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z ای ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr}} #

EXPANSION / سمپلٹی

# = - (a_0) / ز ^ ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z ای ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / ز ^ ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 ای ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((A_0) / Z) ^ 3 ای ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / ز ^ ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 ای ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((A_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 24 ((a_0) / Z) ^ 4 {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / ز ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / ز ^ ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 ((a_0) / Z) ^ 2 ای ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) 12r ^ 2 - ((a_0) / Z) ^ 4e ^ (- (Zr) / (a_0)) 24r - 24 ((a_0) / Z) ^ 5 ای ^ (- (Zr) / (a_0)) #

تشخیص سے تیار فارم

# = | -e ^ (- (Zr) / (a_0)) (a_0) / Z r ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 r ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 r ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 r + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 | _ (0) ^ (oo) #

سب سے پہلے نصف باہر نکل سکتا ہے بننا #0#:

# = منسوخ ({- ای ^ (- (زو) / (ایک_0)) (a_0) / Z oo ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 oo ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 oo ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 oo + 24 ((a_0) / z) ^ 5}) (0) - {-e ^ (- (Z (0)) / (a_0)) (a_0) / Z (0) ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5} #

دوسرا نصف آسان ہے بننا # 1 * (0 + 0 + 0 + 0 + 24 ((ایک_0) / (Z)) ^ 5) #:

# = منسوخ (ای) (- (Z (0)) / (a_0))) ^ (1) منسوخ ((a_0) / Z (0) ^ 4) ^ (0) + منسوخ (4) ((A_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3) ^ (0) + منسوخ (12) ((A_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2) ^ (0) + منسوخ (24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0)) ^ (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #

# = 24 (a_0 / Z) ^ 5 #

اب، ہم مکمل طور پر لہر کی تقریب کو دوبارہ دوبارہ معائنہ کرتے ہیں …

#psi_ (2pz) #

# = 1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 (24 (a_0 / Z) ^ 5) (2/3) (2pi) سٹیکیل (؟) (=) 1 #

# = 1 / (منسوخ کریں (32) منسوخ کریں (پائپ)) منسوخ کریں ((Z / A_0) ^ 5) (منسوخ کریں (16) منسوخ کریں ((A_0 / Z) ^ 5)) (منسوخ کریں (2) منسوخ کریں (pi)) اسٹیکر (؟) (=) 1 #

# رنگ (نیلے رنگ) (1 = 1) #

جی ہاں! ایک لازمی کرتا ہے! میرا مطلب ہے…

لہر فنکشن عام طور پر عام ہے!: D

2p کی لہر کے افعال کے لئے باہمی اورتھوگونتا فراہم کرنا

ہم مندرجہ ذیل لہروں کا انتخاب کرتے ہیں:

#psi_ (2px) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetacosphi #

#psi_ (2py) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetasinphi #

#psi_ (2pz) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) costheta #

یہ ظاہر کرنے کے لئے کہ وہ آرتھوگونال ہیں، ہمیں ان میں سے کم از کم ایک کو دکھانے کی ضرورت ہے:

#int _ ("تمام خلائی") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

اور انسپکشن سے ہم آرام کر سکتے ہیں کیونکہ شعاعی اجزاء ایک جیسے ہیں. دوسرے الفاظ میں:

# mathbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl، 2px) ^ "*" (r) R_ (nl، 2pz) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (م) (تھیٹا) sintheta int_ (0) ^ (2pi) Y_ (l) ^ (م) (phi) dphi stackrel (؟) (=) 0 #

# رنگ (سبز) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) ای ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) گناہ ^ 2thetacosthetad تھیٹا int_ (0) ^ (2pi) کوففڈیفٹی اسٹیکیل (؟) (=) 0) #

ریڈیل حصہ ختم ہوجاتا ہے # 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #. لہذا، ہم کوکولر حصوں کا اندازہ کریں.

The # theta # حصہ:

# رنگ (سبز) (int_ (0) ^ (pi) گناہ ^ 2thetacosthetad تھیٹا) #

چلو:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 1/3 * | گناہ ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * گناہ ^ 3 (pi) - گناہ ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = رنگ (سبز) (0) #

اور اب # phi # حصہ:

# رنگ (سبز) (int_ (0) ^ (2pi) کافففافی) #

# = | گنفی | _ (0) ^ (2pi) #

# = گناہ (2pi) - گناہ (0) #

چلو:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 0 - 0 = رنگ (سبز) (0) #

لہذا، ہم مجموعی طور پر ہیں:

# رنگ (نیلے رنگ) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) ای ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) گناہ ^ 2thetacosthetad تھیٹا int_ (0) ^ (2pi) کافففافی) #

# = منسوخ (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 (24) ((A_0) / Z) ^ 5 (0) (0)) ^ (0) #

# = رنگ (نیلے رنگ) (0) #

چونکہ

#int _ ("تمام خلائی") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

# 2p_z # اور # 2p_x # جوہری مداریں آرتھوگون ہیں.

واقعی، استعمال کرنے کے ساتھ اہم فرق # 2p_y # مساوات یہ ہے کہ آپ اس کے بجائے حاصل کریں:

#color (سبز) ("Constants" int_ (0) ^ (oo) "اسی چیزیں" dr int_ (0) ^ (pi) گناہ ^ 3thetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi stackrel (؟) (=) 0) #

اور تو:

# رنگ (نیلے رنگ) (int_ (0) ^ (2pi) سنفسفسفیدفی) #

# = 1/2 | گناہ ^ 2phi | _ (0) ^ (2pi) #

# = 1/2 گناہ ^ 2 (2pi) - گناہ ^ 2 (0) = رنگ (نیلے رنگ) (0) #

ضرب سے #0# دوسرے ضمیموں کی طرف سے، اس طرح پوری ضمیر غائب اور:

#int _ ("تمام خلائی") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2py) d tau = 0 #

اس طرح # 2p_x # اور # 2p_y # جوہری مداریں آرتھوگون ہیں.

آخر میں، کے لئے # 2p_y # بمقابلہ # 2p_z #:

#color (سبز) ("Constants" int_ (0) ^ (oo) "اسی چیزیں" dr int_ (0) ^ (pi) گناہ ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphidphi stackrel (؟) (=) 0) #

ہم جانتے ہیں # theta # پہلے سے مربوط:

# رنگ (نیلے رنگ) (int_ (0) ^ (pi) گناہ ^ 2thetacosthetad تھیٹا) #

# = 1/3 * | گناہ ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * گناہ ^ 3 (pi) - گناہ ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = رنگ (نیلے رنگ) (0) #

اور اسی طرح پوری انضمام دوبارہ اور غائب ہو جاتی ہے # 2p_y # اور # 2p_z # مباحثے بھی اوہوگونول ہیں!