زیادہ کیا ہے: 1000 ^ (1000) یا 1001 ^ (9 99)؟

جواب:

#1000^1000 > 1001^999#

وضاحت:

مساوات پر غور

# 1000 ^ 1000 = 1001 ^ ایکس #

اگر #x> 999 #

پھر

#1000^1000 > 1001^999#

اور

#1000^1000 < 1001^999#

دونوں طرفوں پر لاگ ان تبدیلی کی اپیل.

# 1000 لاگ 1000 = ایکس لاگ 1001 #

لیکن

#log1 1001 = log1000 + 1 / 1000xx1-1 / (2!) 1/1000 ^ 2xx1 ^ 2 + 2 / (3!) 1/1000 ^ 3xx1 ^ 3 + cdots + 1 / (n!) (d /) DX) لاگ ان x) _ (x = 1000) 1 ^ n #.

یہ سلسلہ متبادل اور تیزی سے متعدد ہے

# log1001 تقریبا لاگ1000 + 1/1000 #

میں تبدیل کرنا

#x = 1000 لاگ1000 / (لاگ1000 + 1/1000) = 1000 (3000/3001) #

لیکن #3000/3001 = 0.999667# تو

#x = 999.667> 999 # پھر

#1000^1000 > 1001^999#

جواب:

یہ ثابت کرنے کے لئے بینومیلی پریمی کا استعمال کرتے ہوئے ایک متبادل حل ہے:

#1001^999 < 1000^1000#

وضاحت:

بائنومیلی پریمی کی طرف سے:

#(1+1/1000)^999 = 1/(0!) + 999/(1!)1/1000 + (999*998)/(2!)1/1000^2 + (999*998*997)/(3!) 1/1000^3 + … + (999!)/(999!) 1/1000^999#

# <1 / (0!) + 1 / (1!) + 1 / (2!) + 1 / (3!)) + … = ای 2.718 #

تو:

#1001^999 = (1001/1000 * 1000) ^ 999#

# رنگ (سفید) (1001 ^ 999) = (1 + 1/1000) ^ 999 * 1000 ^ 9 99 #

# رنگ (سفید) (1001 ^ 999) <ای * 1000 ^ 999 <1000 * 1000 ^ 999 = 1000 ^ 1000 #

جواب:

#1000^1000 > 1001^999#

وضاحت:

# لاگ ان 1000 = لاگ ان 10 ^ 3 = 3 اور 1001 لاگ ان کریں 3. 3.0004340 …

یہاں، دونوں کی لاگت ہے

#log (1000 ^ 1000) = 1000 لاگ1000 = (1000) (3) = 3000 # اور

#log 1001 ^ 999 = (999) (3.0004340 …) = 2997.4 #…

لاگ ان ایک بڑھتی ہوئی تقریب کے طور پر،

#1000^1000 > 1001^999#.