پاؤ / 12 سے پیو / 6 رادیانوں سے ایک دائرہ پر 12 رنز کی لمبائی کے ساتھ ایک چارہ. حلقے کا کیا علاقہ ہے؟

جواب:

ایک دائرے کا علاقہ ہے

#S = (36pi) / گناہ ^ 2 (پی پی / 24) = (72pi) / (1-چوٹرن ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

وضاحت:

مندرجہ ذیل تصویر کو اس مسئلے میں مقرر کردہ حالات کی عکاسی کرتی ہے. تمام زاویہ (بہتر تفہیم کے لئے بڑھایا) افقی ایکس محور سے رادیان میں شمار ہوتے ہیں # اوکس # گھبراہٹ

# AB = 12 #

# / _ XOA = pi / 12 #

# / _ XOB = pi / 6 #

# OA = OB = r #

ہمیں اس علاقے کا تعین کرنے کے لئے ایک دائرے کی ایک رگڑ تلاش کرنا ہے.

ہم اس کو جانتے ہیں # AB # لمبائی ہے #12# اور ریڈیوز کے درمیان ایک زاویہ #O ایک# اور # او بی # (کہاں # O # یہ ایک دائرے کا ایک مرکز ہے)

#alpha = / _ AOB = pi / 6 - pi / 12 = pi / 12 #

اونچائی کا تعمیر کریں # OH # مثلث کی # ڈیلٹا AOB # عمودی سے # O # طرف # AB #. چونکہ # ڈیلٹا AOB # آئسیلس ہے، # OH # ایک میڈین اور ایک زاویہ بیزیکٹر ہے:

# AH = HB = (AB) / 2 = 6 #

# / _ آو = / _ بوہہ = (/ _ AOB) / 2 = pi / 24 #

صحیح مثلث پر غور کریں # ڈیلٹا AOH #.

ہمیں یہ کہتا ہے # ہ = 6 # اور زاویہ # / _ AOH = pi / 24 #.

لہذا، hypotenuse #O ایک#، جو ہمارے دائرے کا ایک ردعمل ہے # r #، برابر ہے

# r = OA = (AH) / گناہ (/ _ عہ) = 6 / گناہ (پی / 24) #

ریڈیو کو جاننا، ہم ایک علاقے تلاش کر سکتے ہیں:

#S = pi * r ^ 2 = (36pi) / گناہ ^ 2 (pi / 24) #

آتے ہیں اس کے بغیر ٹریگونومیٹرک افعال کے بغیر.

چونکہ

# گناہ ^ 2 (فائی) = (1-کاس (2phi)) / 2 #

ہم مندرجہ ذیل علاقے کا اظہار کر سکتے ہیں:

#S = (72pi) / (1-کاس (پی پی / 12)) #

ایک اور trigonometric شناخت:

# کاؤنٹی ^ 2 (فائی) = (1 + کاسم (2phi)) / 2 #

#cos (phi) = sqrt (1 + cos (2phi)) / 2 #

لہذا،

#cos (pi / 12) = sqrt (1 + cos (pi / 6)) / 2 = #

# = sqrt (1 + sqrt (3) / 2) / 2 = sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4) #

اب ہم ایک حلقے کے علاقے کی نمائندگی کرسکتے ہیں

#S = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

جواب:

ایک ہی نقطہ نظر کا ایک ہی نتیجہ

وضاحت:

مندرجہ بالا اعداد و شمار میں 12 کی لمبائی کی شکل AB سے ہے# pi / 12 # کرنے کے لئے # pi / 6 # ریڈیو کے دائرے میں آر اور مرکز اے، اصل کے طور پر لیا.

# / _ AX = pi / 12 # اور # / _ باکس = pi / 6 #

لہذا اے کے کمر سمنوی # = (r، pi / 12) # اور بی کے # = (r، pi / 6) #

پولر سمنٹ کے لئے فاصلہ فارمولہ کا اطلاق

ارڈ AB کی لمبائی،# 12 = sqrt (r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (/ _ BOX - / _ AOX) #

# => 12 ^ 2 = r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (pi / 6-pi / 12) #

# => 144 = 2r ^ 2 (1 کاسم (پی پی / 12)) #

# => r ^ 2 = 144 / (2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = منسوخ 144 ^ 72 / (منسوخ 2 (1-کاس (پی پی / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-کاس (پی پی / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2) (1 + کاسم (2 * پی پی / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2) (1 + کاسم (پی پی / 6)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrtrt (1/2) (1 + sqrt3 / 2) #

حلقے کے اس علاقے

# = pi * r ^ 2 #

# = (72pi) / (1-sqrtrt (1/2) (1 + sqrt3 / 2) #

# = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt3) / 4) #