ریڈیوس R کے ہر دیئے گئے دائرے کے اندر اندر 3 برابر حلقوں پر غور کریں، دوسرا دوسرا اور دیئے گئے دائرے کو چھونے کے طور پر اعداد و شمار میں دکھایا گیا ہے، اس کے بعد سایڈڈ علاقے کے برابر ہے؟

ہم اس طرح سایڈڈ علاقے کے علاقے کے لئے ایک اظہار تشکیل دے سکتے ہیں:

#A_ "شیڈڈ" = piR ^ 2 - 3 (پیرا ^ 2) -A_ "مرکز" #

کہاں #A_ "مرکز" # تین چھوٹے حلقوں کے درمیان چھوٹے حصے کا علاقہ ہے.

اس علاقے کو تلاش کرنے کے لئے، ہم تین چھوٹے سفید حلقوں کے مراکز سے منسلک کرکے مثلث اپنی طرف متوجہ کرسکتے ہیں. چونکہ ہر دائرے میں ایک رگڑ ہے # r #، مثلث کے ہر طرف کی لمبائی ہے # 2r # اور اس مثلث کے درمیان مثلث برابر ہے # 60 ^ o # ہر

ہم اس طرح کہہ سکتے ہیں کہ مرکزی علاقہ کے زاویہ اس مثلث مائنس کا علاقہ ہے جسے دائرے کے تین شعبے. مثلث کی اونچائی صرف ہے #sqrt ((2r) ^ 2-r ^ 2) = sqrt (3) r ^ #لہذا مثلث کا علاقہ ہے # 1/2 * بیس * اونچائی = 1/2 * 2r * sqrt (3) r = sqrt (3) r ^ 2 #.

اس مثلث کے اندر تین حلقوں کے حصوں کے علاقے بنیادی طور پر اسی علاقے میں حلقوں میں سے ایک نصف (زاویہ رکھنے کے باعث) # 60 ^ o # ہر، یا #1/6# ایک حلقہ، لہذا ہم ان شعبوں کے کل علاقے کو کم کر سکتے ہیں # 1/2 pir ^ 2 #.

آخر میں، ہم مرکز کے علاقے سے باہر کام کر سکتے ہیں #sqrt (3) r ^ 2-1 / 2pir ^ 2 = r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

اس طرح ہمارے اصل اظہار پر واپس جا رہا ہے، شادمی کا علاقہ ہے

# piR ^ 2-3pir ^ 2-R ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

جواب:

#A = r ^ 2 (1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3)) #

وضاحت:

چلو سفید حلقوں کو ایک ردعمل دے دو # r = 1 #. مراکز کی طرف سے ایک متوازن مثلث بناتا ہے #2#. ہر مادی / اونچائی ہے #sqrt {3} # لہذا سینٹرائڈ سے ایک فاصلے پر فاصلہ ہے # 2/3 sqrt {3} #.

سینٹرائڈ بڑے حلقے کا مرکز ہے لہذا بڑے حلقے کے مرکز اور چھوٹے حلقے کے مرکز کے درمیان فاصلہ ہے. ہم تھوڑا ردعمل شامل کرتے ہیں # r = 1 # حاصل کرنا

#R = 1 + 2/3 sqrt {3} #

ہم جس علاقے میں تلاش کرتے ہیں وہ بڑے دائرے کا علاقہ ہے جو برابر متوازن مثلث اور باقی ہے #5/6# ہر چھوٹا سا دائرے میں.

#A = pi R ^ 2 - 3 (5/6 پی آر ^ 2) - sqrt {3} / 4 (2r) ^ 2 #

#A = pi (1 + 2/3 sqrt {3}) ^ 2 - 3 (5/6 پائپ) - sqrt {3} #

#A = 1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3) #

ہم پیمانے پر # r ^ 2 # عام طور پر.