آپ root3 (1) کو کیسے آسان بناتے ہیں؟

جواب:

#1# یا #1^(1/3)# =#1#

وضاحت:

1 کی کیوبڈ جڑ اسی طرح ہے جس کی طاقت 1 تک پہنچ گئی ہے #1/3#. 1 کسی بھی چیز کی طاقت اب بھی 1 ہے.

جواب:

ہمیں حاصل کرنے والے حقائق میں کام کرنا #root 3 {1} = 1 #.

ہر غیر صفر پیچیدہ تعداد میں تین کیوب جڑیں موجود ہیں

#root 3 {1} = 1 یا -1/2 بجے میں sqrt {3} / 2 #

وضاحت:

اگر ہم حقیقی تعداد میں کام کر رہے ہیں تو ہم صرف نوٹ کریں گے #root 3 {1} = جڑ 3 {1 ^ 3} = 1 #. میں سمجھتا ہوں کہ یہ پیچیدہ نمبروں کے بارے میں ہے.

جب ہم پیچیدہ نمبروں میں گزرتے ہیں تو ہم اس چیز کو تلاش کرتے ہیں جو یہ کام ہے #f (z) = e ^ {z} # دورانیہ ہے. متوقع ترقی نسخے کے برعکس ہے، لہذا یہ ایک تعجب ہے.

کلیدی حقیقت یہ ہے کہ ایلر کی شناخت میں فرق آیا. میں اسے فون کرتا ہوں Euler کی شناخت

# ای ^ {2 pi میں}} = 1 #

Euler کی شناخت کی شناخت ظاہر کرتا ہے # e ^ z # مدت کے ساتھ دورانیہ ہے # 2pi میں #:

#f (z + 2pi i) = e ^ {z + 2 pi i} = e ^ z e ^ {2 pi i} = e ^ z = f (z) #

ہم ایلر کی سچائی شناخت کو کسی بھی عارضی طاقت میں بلند کرسکتے ہیں # k #:

# ای ^ {2 pi ک i} = 1 #

یہ سب ایک کیوب جڑ کے ساتھ کیا کرنا ہے؟ یہ کلید ہے. یہ بتاتا ہے کہ ایک تحریر لکھنے کی ایک قابل قدر لامحدود تعداد موجود ہے. ان میں سے کچھ دوسروں کے مقابلے میں مختلف کیوب جڑیں ہیں. اس وجہ سے غیر آئتاکار کے اخراجات سے زیادہ اقدار بڑھتے ہیں.

یہ سب بڑا ہوا ہوا ہے. عام طور پر میں صرف لکھ کر لکھتا ہوں.

# e ^ {2pi k i} = 1 quad # لازمی طور پر # k #

#root 3 {1} = 1 ^ {1/3} = (ای ^ {2 pi کی}) ^ {1/3} = ای ^ {i {2pi k} / 3} = cos (2pi k / 3) + میں گناہ (2pi ک / 3) #

آخری مرحلہ ایل ایل کی فارمولا ہے # e ^ {itata} = costa + i sin sta. #

چونکہ ہمارے پاس ہے # 2pi # ٹرک افعال کی اخلاقیات (جس میں متوقع اور Euler کی فارمولا کی مدت کے بعد) ہم صرف تین مسلسل کے لئے منفرد اقدار ہیں # k #s. آئیے اس کا اندازہ کریں # k = 0،1، -1 #:

# k #=0# کواڈ کواڈ کاسم ({2pi ک} / 3) + میں گناہ ({2pi k} / 3) = cos 0 + i sin 0 = 1 #

# k #=1# quad کواڈ (2pi} / 3) + میں گناہ ({2pi} / 3) = -1 / 2 + میں sqrt {3} / 2 #

# k #=-1# کواڈ کواڈ (2 {2pi} / 3) + میں گناہ (- {2pi} / 3) = -1 / 2 - میں sqrt {3} / 2 #

تو ہم ایک کیوب جڑ کے لئے تین اقدار حاصل کرتے ہیں:

#root 3 {1} = 1 یا -1/2 بجے میں sqrt {3} / 2 #